VII. Posons

d'où

En prenant n fois de suite la dérivée des deux membres dans cette dernière équation et appliquant à cet effet la formule de Leibnitz (tome I, n^ 88), on trouve

ou, en multipliant par 2''.n ! ,

n(n 4- 1)X„ — 2a?X: — {x' — 1)XÎ = 0. (3)

C'est une relation entre X„ et ses deux premières dérivées?

VIII. On peut encore trouver une relation récurrente entre trois fonctions X„ successives. Revenant à l'égalité de déRnitiou (l), diflérenlions-la par rapport à a ; nous trouvons

Multiplions les deux membres de cotte égalité par 1 — 2aj;H-a^

et remplaçons ensuite dans le premier (1 — 2%x h- a') * par sa valeur V Xn«% nous obtenons l'identité

(a? — a) 2 X«a« = (1 — 2aa? + a^) ^ nX„a«-S

îi l'on dédait aisétneat en comparant les termes en «* :

(n -\- I)X„ ^ , — (2» + l)arX, + «X„, = 0. (A)

Hette égalité permet de calculer X„,i., connaissant X„ et X»-,, st-ù-dire de proche en proche toutes ces fondions puisque us avons donné X, et X,, Elle montre aussi que les racines la fonction X„ donnent des signes contraires aux deux foncns qui l'encadrent.

En etlet, en intégrant par parties plusieurs fois de suite, on ra, y ayant la même déiinitioQ que ci-dessus (VII),

/ i,(-lj,(-Wa! = rj,Cy— i)"! — / ,l- + i)j(— i)^!

+ (-1)' + ' / j,!- + '+')y<— '-'Wi.

Si m est inférieur à n, ce qu'on peut supposer, toutes les déries !/<"'-'>, yf""-')..- sont nulles pour x = ±i ; la (m -i- 1)'*" les suivantes sont nulles identiquement, ce qui démontre la ■emière formule énoncée.

Si m = n, soit i = n — 1, on aura

= {-l)-(2n)!/ (i--l)-rfa,.

POLYNOMES DE LBOENDRE — FONCTIONS HULÂRIENNES i«3

Eq constdtirsnt x* — 1 comme le produit de a: — 1 pir : -+■ i , et CD intégraid n lois par parties, on trouve aisément

yf'lyMilx = (» !)• g-j-, .

X. Le polynôme X„ peut se mettre sous forme de déterminant. On peut se reporter par exemple au n° 249. M. Roucbé a également donné la forme (C. R tome LXVII)

dans laquelle M est un coefficient numérique,

°' = "2fr7i) ■

Nous n'aurons pas à utiliser ces résultats purement théoriques.

133. Nous allons enfin appliquer les principes qui ont été établis dans ce cliapitre au problème suivant : mettre X* som la forme d'une intégrale définie. A cet effet nous intégrerons la fonction

J (n entier positiT

- 2xs -+- z^ {x et z quantités c

tiplexea)

le long d'un cercle (y), de rayon infiniment petit, ayant l'origine pour centre. Celte intégrale a pour valeur le résidu de /*(:?) multiplié par 2t:î, c'est-à-dire en se reportant à la formule (1), 2tîîX„ ; on a donc

Xn=é: / . . ., ''". (6)

134« Dans Tintégrale précédente, faisons

en appelant (C) un cercle de rayon infini concentrique au précédeni, nous obtenons la nouvelle expression

Xn = d: ^. I : -.- dt.

Pour évaluer celte intégrale, nous remarquerons que le dénominateur s'annule pouF

soit aux points a et a'. Entourons chacun de ces points d un cercle infiniment petit et faisons une coupure par une droite unissant ces deux points; dans la région isolée par cette coupure, la fonction sera uniforme. En effet si le point / tourne autour de a, il devra eu môme temps tourner autour de a' et le radical aura change. deux fois de signe; la fonction aura donc repris la valeur qu'elle avait au départ.

On peut donc, les points critiques étant isolés, remplacer l'intégrale le long du cercle C par une intégrale le long du chemin suivant : circonférence a, bord supérieur de la coupure, circonférence o', bord inférieur de la coupure. Les intégrales le long des deux petites circonférences sont nulles en vertu de la remarque faite au n° 113; les intégrales le long des deux

POLYNOMES DE LEGENDRB — FONCTIONS KULERIENNES 483

bords de la coupure sont égales : car, si le radical a changé de digne en tournant autour de a', par exemple, e// prend en reve-

FiG. 13

nanl le long de a'a des valeurs égales et des signes contraires à celles qu'il avait le long de aa', de sorte qu'on a finalement

*/ c t/oa*

dt.

Pour évaluer cette dernière intégrale nous ferons le changement de variables suivant

t = X -{- yjx' — 1 008 <p,

d'où

di = — v^o?* — 1 sin o d^y

et il suffira de faire varier o de 0 à r : -

/ -- di = i I (^; -h \/j:' - i

— i COS cp)'V/9,

La fonction X„ a enfin la forme

-h \/iC" — 1 008 oydo.

"îr c'est le sig^e 4- qu'on doit prendre comme on le voit en

135. Les mêmes considé ratio as auraieDt permis dVvaluer intégrale eous la forme (6) ; mais une difliculté se serait préeatée, tenant à ce que le second membre de l'égalité (fi) est iscontinu tandis que le premier est continu, accident qui ne 'était pas rencontré dans le n" précédent. Nous allons lever ette dilliculté, à titre d'exercice, et pour montrer commeDl 'on devra opérer dans des cas analogues.

Nous isolerons, comme précédemment {fiff. 13) les points a) et {a') par une coupure «t par deux petits cercles ; soit k le ontour ainsi formé, soit c la circonférence de rayon inlini,

celle de rayon infiniment petit ayant pour centre l'origine. 4ou8 aurons

•^c ^ k «^T >u, comme «/"(s) tend vers léro p'our s = œ et que X, = /

Posons encore