a; + v'j' — 1 co« o dz =: — ^x^ — I sin tprf

lous obtenons X„ sous La fonne d'une intégrale déûnie ordilaire.

X„=±l Ç -^JX . (8)

Dans cette formule, faisons x^i; comme X„(I) = 1 et que le second membre devient zb 1, il faudra prendre le signe + .

POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULËRIBNNBS 187

Faisons au contraire x = — 1, le premier membre devient X„(— 1)=(— {y elle second ±:( — 1)" + * ; il faut donc prendre le signe — . Ainsi, il n'est pas possible de fixer, une fois pour toutes, le signe ambigu dans la formule (8) : mais alors quelle règle suivre? Remarquons que le dénominateur ne peut s*an-

nuler que si o^ . est réel, positif, et << i, ce qui exige que x soit pmrement imaginaire. A part cela la fonction , ^ . =

*^ or x-^-V^^ — Icoso

est continue : le second membre de (8) gardera donc un signe constant à droite de l'axe des imaginaires yy', et un signe constant à gauche. Ces signes étant coontas aux points =ti 1 , on voit que le second membre de (8) devra être pris avec le signe >^ , si la partie réelle de x est positive, et avec le signe — , si elle est négative. D'ailleurs, si x est purement imaginaire, l'intégrale n'est pas déterminée.

Formule de Lagrange

136. — Les polynômes de Legendre se retrouvent comme application d'une formule très importante due à Lagrange et dont la démonstration a été l'objet de nombreux travaux. Le problème consiste à développer en série l'une des racines de l'équation en z

M. Rouché (*) a appris à distinguer nettement la racine développée en «érîe et à préciser les conditions de convergence de son développement. Sa démonstration ne fait pas intervenir le calcul intégral ; celle que nous donnons ici, n'en diffère par aucun point essentiel et présente une très intéressante application de la formule du n° 127.

I = 2 rn^{a) == g^ / ?(^)D log î{2)dz. (') RoacHÉ. — Journal de VEcole Polytechnique, XXXIX* cahier.

Supposons que f{z) soit de la forme

^{z) étant holomorphe, x un point intérieur au contour C et a une constante ; m sera positif, et la formule (9) s'écrira

' = Si Aw ^itf^' "- c»)

Or, si i*on suppose la constante a de module assez petit pour que y^ soit développable en série à Tintérieur du contour C, c'est à-dire pour qu'on ait

on pourra écrire

f[z) 2 — X ^"^{Z) Z — X {Z XY '" l^z — xY^^

Par suite la formule (10) devient

0 Jr.

ou, en appliquant les formules (6) du chapitre précédent (no 117),

La dérivée qui Bgure dans le second membre est la somme des deux suivantes

/J, [<P(-^)-n^)] et - a ^. bixM^Wix)].

POLYNOMES DE LKGENORE — FONCTIONS EULERIENNES 189

Il faudra donner à n les valeurs 0, 1, 2...., et ajouter; le coefGcient de a** sera ainsi

= ;r? ïï^^ \ ?'(^) [^('^)]'' \

el l'on aura finalement^ en revenant à la formule (11),

Il résulte de cette formule deux conséquences 1° Supposons o(x) = 1, le second membre prend la valeur 1 ; par suite m qui indique le degré de multiplicité de la racine a^ égale un et Ton a ce théorème : si <V(z) est une fonction holomorphe à Vintérieur du contour C, si x est un point intérieur à ce contour et si a est une constante telle que pour tous les points du domaine C on ait

aO/i

Véquation

a une racine et une seule, a, à Vintérieur de ce contour,

2^ La valeur de toute fonction holomorphe o[z) dans le même contour est donnée y au point a, par la formule (12) que nous transcrivons à nouveau

£n particulier, on aura

a = ,v ^ a^^) -t-...-f- ^ ,7-57^1 [^{fc)]- +... (<3)