IS
e radical s'annule pour
:'est-à-dire pour deux valeurs dont le module est un. Le développement suivant les puissances de a sera donc
POLYNOMES DE LEOKNDaS FONCTIONS EULÉRIENNES 19t
valable à riatérleur d'un cercle de rayoD un ; la formule de Lagrange doDoe immédiatement
Si maiatenant on dérive par rapport à x les deux membres de cette équation, après avoir remplacé préalablement z par sa valeur tirée de (15), on trouve
ip/l — 2gu> -H *
ce qat montre immédiatement que les fonctions de Legendre, définies au d° 131^ ont pour valeur»
Retour sur les produits Inflnfs
138. Nous allons revenir sur ces produits, que nous avons déjà considérés au a° 170 (tome 1). Nous supposerons maintenant que les acteurs peuvent Ctre imaginaires. Soit
<"■. = On + ïô„ = pnCcOS ifn -h t SÎn if„).
On démontrera, comme au n" cité, que a„ doit tendre vers zéro, et l'on remplacera encore l'étude du produit P„ par celle de son loganthfue. Seulement la formule (32) du n" 170 D'étant plus applicable, il faudrait modifier le raisonnement
Nous n'étudierons que les produits absolument convergents ; la série
sera donc absolument convergt
d quelles conditions il en sera
Remarquons d'abord que
!og(l+«„)=log(l + ?„cos!f„ + i?,
+ ij^arclaug j-^
on pourra toujours supposer 1' que dans l'égalité précédente ; que log (1 + a„) tende vers zén ces conditions le rapport »„=: et la série ]>]log (I -+- a„) ser même temps que la série 5] «n de la précédente que par le fa< Ainsi /Jour que le produit P„ le finie, non nulle, il faut et il st
soit absolument convergente.
Le produit étant absolumenl vertir l'ordre des facteurs.
140. Les conditions précède produits qui sont îuûais dans I produit
n'est pas absolument converg divergente, tandis que le prod
POLYNOMES DB LBOENDRB — FONCTIOÎtS BULéRlBK
est absolument convergent parce que la série
est absolument convergente ; en effet le produit pi terme général de cette série tend vers la quantité fii pour n = 30 .
141. Comme application nous donnerons le déi ment de sin :rea produit infini. Soit m un nombre im démontre dans tous les trailés de trigonoméirie qui peut s'exprimer par un polyndme en sin x dont les di racines sont les valeurs que prend sin - pour m valeu cutives entières de k. On peut, par exemple, poser
siamx=Ki\ïkx{9in.e—iia — Wsînaf— sin -1 ysiax — sin
(sinx + Bin — ](sin^- + sin — 1 (iiin.r+ sin — n—
ou encore
= B Bm W 1 - — - \ / 1 - — -^^rr
\ Bin*- I \ 8in' — s —
\ mj \ i
Dans cette dernière égalité, supposons d'abord x in petit, nous obtenons B = m. Remplaçons ensuite x il vient
CiMmi iiirii<iTi«iiiii
Si, p restant fixe^ m croît à rinfini, le premier produit ii tend vers
dans le second produit^ il n'est pas permis de remplacer,
sm* — comme on vient de le faire, t- par le rapport des valeurs
sin* — m
principales jfz^ parce que k peut devenir infiniment grand de
Km) même ordre que m et que sin -^ n'est plus nécessairement un
infiniment petit. Mais le rapport de sin ^ à — est, pour -
compris entre 0 et ^, compris entre 1 et ; soit 0* sa valeur.
Pour m suffisamment grand, on aura aussi
. ira? ^ Ttx
X^ étant un nombre qui tend vers Tunité pour m infini ; par
2 / sm* — \ suite le produit TT 11 -r- j pourra être remplacé par
sm'
1 — p j2 ) qui est encore absolument coa-
vergent. On pourra prendre p assez grand pour que chacun des facteurs de ce produit, et par suite ce produit lui-même diffère de Tunité d'aussi peu que Ton voudra. Finalement oïi aura
sin rj;
= TT^ JJ (l — ^^ X (1 -f- 0
POLYNOMBS DE LEaBNDRK — FONCTIONS EULÂRIENNES 195
et, en faisant maintenant p = ao y
[a7:x = 'Kx Y[(i — ^\ (16)
Remarque : Si dans cette formule, on fait x = 0 > ^^ retrouve la formule de Wallis (n° 79).
ÛO
I43. Dans l'égalité (16), remplaçons x par ^ et divisons
membre à membre celte même égalité (16) parla nouvelle égalité obtenue ; nous aurons immédiatement le développement du cosinus en produit inOni
En prenant la dérivée logarithmique des deux membres, on trouve la formule
7t j ira? V» ££
<iui a été utilisée au n'' 94.
143. Nous allons encore établir la formule qui nous a servi -à démontrer l'équation (30) du n^* 90.
La formule (Ih) peut, si l'on veut, être remplacée parcelleci, qui est aussi absolument convergente (n« 139),
sin r.x = Tzx II ( 1 4- t)^"'Î^>
la valeur Ar = 0 étant naturellement exclue. Prenons la dérivée logarithmique des deux membres ; nous trouvons
e qui peut s'écrire encore
La 3omme ^}.t est la vraie valeur de la fraction
- Tt cot 1t^
our X infiniment petit. On trouve ainsi
■y j Tt'
