Le produit TT(' — ,',) qui n'est pas absolument

snvergenl, ainsi qu'il a été dit, donne lieu à d'intéressantes msidéralîons. Posons

: prenons la dérivée logarithmique des deux membres ; nous btenons l'égalité

Eco v' V^ X .V*

La première et la troisième sommes convei^cnt évidemment »r8 des limites finies pour n et m infinis ; la deuxième et la aatrième, qui se confondent avec la série harmonique,

POLYNOMES DB LEGBNORB — FONCTIONS EULERIENNES iO?

croissent au-delà de toute limite. Mais leur ditlérence reste finie : soit m = on et

Nous remarquons que

donc

= I (l H- ^^ -H ... 4- x'")dJO — I (1 4- X + ... 4- œ'')dx

Pour évaluer cotte int(?grale, Hermile pose

ce = i — ,

ce qui donne

11 s'agit de trouver, si elle existe, la limite de X pour n = oc

lira Â = I

Or la dérivée de celte intégrale par rapport à w est

w L Jo ^

aiAFlTRE IV

me, pour l'intégrale cherchée.

ODstante est nulle comme on le voit en faisant u ^ 1 ; enÛD

lim X = log oi.

îvée logarithmique du produit considéré dépend donc il par suite le produit lui-même d(!pend du lien gn'on a entre m ci n. Si m = n, lu = J, log ui = 0, on a

îX^) ^ y / ^ ■:};__] ^ V 2.g

suite, (n° 143)

lim ^= lim y ^^

ira ^ j;' Il

ip(iC) '

remontant des dérivées logarithmiques aux nombres,

i-r sin vx

^^ ■Kj; '

nÛD ou suppose m = <an, u> restant quelconque, on tour m et» inOnis,

rte de remarquer que.pouru = 1,1e premier memhre est iction périodique de période 2, tandis que, si tu demeure aque, le premier membre se trouve multiplié par w' on change x eax -i-2.

POLYNOMES DE LEGENDRB — FONCTIONS EULERIENNES 190

145* Des considc^rations analogues pourraient être développées relativement aux produits infinis à double entrée de la forme

^^ \ an -^ bmj

Il en résulterait de nouvelles fonctions qui sont multipliées par une exponentielle lorsque x s'accroît de a ou de ô, l'exponentielle dépendant d'ailleurs de la loi suivant laquelle sont reliés m et n. Mais ces considérations nous entraineraîent trop loin et nous ne pouvons que renvoyer le lecteur à un Mémoire publié par M. Cayley dans le Journal de Lionvilley tome X.

Fondions Eulérienncs

146. — On appelle fonction eulérienne de deuxième espèce^ et l'on désigne par la notation r(^), la fonction

Cette déGnition ne distingue pas le réel de l'imaginaire ; mais nous n'envisagerons généralement que lès valeurs relies do z,

\4!7. — Il faut d'abord chercher les conditions de convergence de l'expression qui sert à définir r(;;). Il est évident que si z est nul ou égal à un entier négatif la fraction devient infinie pour une valeur de n. Je dis qu'elle a une limite finie pour toute autre valeur de z. En effet l'on a

log r(^) = log 2 -4- log 3 -h ... -h log (n — i) -h log n -^ {z — 1) log n — \o^ z — log (^ -h 1) — ... — log (;ar -h n — i)

log;:rH.logr(:r) = ;:logn--log(^ ^ 1) — log(l -f-?)...

Remplaçons, avec Gauss, log n par

log ï H- log ^ H- log jj -^ ... 4- log ^j— -|;

Tégalilé précédente devient

log ^r(2) = [sr log 2 — log( I -4- ^)] -+- U log 2 — log A -

-^ [^ »og ^f - ïûg (l + J^)]

en écrivant p au lieu de n — 1 .

u,= ;3r log ^1 4- ~) - log (l +1) / i i ^ \ /£ ^* ^ \

<lonc

lim pj t/^ =r ;î:(j — i),

Jï = 00

La série est donc absolument convergente et par suite zlX^) est bien déQnie pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires nie z autres que zéro ou les nombres entiers négatifs.

(Propriélés des ronctlous Eulériennes de deuxième

espèce