V. Revenons à la formule (22), et donnons kzles p valeurs
2' ^' 2"*"^ — ' ^^ trouve immédiatement
^f i\ 1.3.5.. .(2p—i) /- ,«ftv
VI. Nous donnerons enfin l'expression de T(z) par une intégrale définie. A cet effet nous invoquerons de nouveau le théorème suivant que nous avons déjà utilisé (n® 69) : Siy dans deux séries divergentes ordonnées suivant les puissances asce7idani€S de la variable^ le rapport des coefficienis de la puissance m*^"* de la variable tend vers une limite finie /, les deux séries ont le même rapport.
Les deux séries que nous envisagerons ici sont
et
qui sont divergentes pour ;r > 0 et lim ^ = 1.
Le rapport des coefficients de x'* est la fonction désignée jusqu'ici par <p(n, s)] nous avont donc, en supposant a? = « ,
r(^) = lîm <f(n, Z-) =3 lim ^g[
= lim [i'-^x -h 2'- «a?» H- ...] (1 — xy.
Soit X = e--^ ; on pourra écrire
POLYNOMES DE LEGENBRE — FONCTIONS EULERIENNES 203
Lorsque œ tend vers uw, h tend vers zéro ; le premier facteur tend vers l*unité. Quant au produit du crochet par hy
il tend, par défluition, vers / x'—^e-'dx. On a donc
Cette égalité est souvent prise pour définition de la fonction culérienne de deuxième espèce. On en déduirait sans peine les propriétés déjà démontrées ; nous laissons au lecteur le soin de faire cet exercice facile.
149« En résumé, la formule (22), qui permet de diminuer l'argument d'une unité et par suite d'autant d'unités qu'on le voudra, permettra de ramener z à être compris entre 0 et 1 ; à l'aide de la formule (25), on ramènera z à être compris entre
0 et K, et il suffira d'avoir une table des valeurs de cette fonction pour les valeurs de l'argument comprises entre ces deux dernières limites.
Nous n'entreprendrons pas l'étude détaillée des procédés par lesquels on est arrivé à construire cette table. Bornons*nous à représenter par une courbe la variation de r(^) pour x variant de 0 à 00 .
Fie. 14
Le minimum de T(x), qui est égal à 0,8856032, correspond à
L'égalité
r(.r) = ni.±£),
montre que r(x) === « pour x infiniment voisin de zéro. On déduit aussi de la formule (22) la suivante
l(x H- p) = (â- 4- /) — l) (x -H p — 2) ... AT(a)»
d'où il résuite immédiatement que l'intégrale eulérienne de deuxième espèce est infinie en même temps que rargument. Le lecteur conclura d'ailleurs du n° suivant que log r(-^') ne peut avoir qu*un minimum puisque sa dérivée seconde est essentiellement positive. Il en est de même do r(.>).
