La formule

logr(^)=:lim j zlogn — log;r—log(.:rH-i)— ...— logMH-^*~ ] 1»

conduit à des conséquences d'une autre nature sur lesquelles nous allons maintenant nous étendre.

En dérivant deux fois les deux membres on trouve

D log !■(.-) = lim [log n - i - j-i-^ ... -~l^^]. D, log r(-i = lim [1, + jj^, + ... H- ^—j-i--^,] .

Cette dernière série est absolument convergente, on peut donc l'intégrer entre zéro et U7i et écrire

£|jj = D l.g r(i,)

rrrv% iT

rOLYNOMBS DE LKGBNDRB — - FONCTIONS EULERIENNES 20:»

D log T(z) se présente maintenant sous la forme d*une série absolument convergente^ car elle a pour terme général

La constante C, qui se présente dans un grand nombre de problèmes, a reçu le nom de constante d'Euler et a pour valeur

il résulte de la formule (28) qu'elle peut s'exprimer de la manière suivante

Comme on a

-* log x.e-'dx,

on a

Xogx.e—^dx ♦ (30)

mais celte formule est incommode pour le calcul de C et c'est autrement (voir par exemple Serret, tome II, n® 522) qu'a été obtenue la valeur (29). On peut encore mettre cette constante C 80U8 une autre forme en se reportant à la première expression de D log z donnée dans ce numéro. Si en eflet on y fait s = 1, on trouve

— l''(l) = G = lim (l -h ^ + g -+- ... -H i — log n) . Dans l'égalité (28), changeons s en s m 1 : il vient

D log r(;; -4- i) =r — G

206 CHAPl

latiSgrons entre les limites 0

= C:r + [log (j + !) - al -t-

ks deux membres s'annulant r duit (ie là

Le dernier produit est absi nous l'avons déjà vu ; la for morpbe dans tout le plan.