Euler a établi la torm
Pour la diîmonlrer, formon:
dont le premier membre de { d'autre part le produit
qui, pour jî = oo , devient mproduits
est indépendant de z ; tout rev
POLYNOMES DE LEGBNDRE — FONCTIONS EULÉRIENNES 207
cette fraction pour /> iaiini, ou encore, ce qui est préférable, à calculer la valeur du quotient précédent pour une valeur particulière de z. Nous ferons ;; = 1 et nous calculerons
w(i^i)...r(.-H"-rJ)
Le dénominateur a pour valeur n—^'^n — i) î ; le numérateur équivaut, à cause de la formule (22) à
lr(l)x?r(-2) !Lnir(î^^).
Or on a (formule 24)
^ ^ ^ ^ sm -
^ ^ ^ ' sm —
sm
d'où en multipliant ces égalités, membre à membre, et tenant compte de la valeur du produit calculée au n"* 68
Finalement on aura
ce qui démontre entièrement la formule (31).
Signalons en passant la formule, que nous venons de rencontrer,
Kï)^(i)-'(»-') = «=^"-'-
La formule prôcôdente permet d'évaluer une inlégrale îélèbre
1 = / log r(ar)dar.
en effet, par déGntlîon, si tt/i = 1
: litn [A log r A -<- A log r(2A) -i- ... 4- A log T(nh)\
/log r(i)rfa; = log
'ait d'une m / log \X---)dx =
t = log \'%T.
montrerait d'une mnnièrc analogue la formule ai
a (log o — I) 4- log v/5n.
Formule de Stlrlino;
L'objet de cette formule est d'évaluer, d'une manière e,la fonction r (« -t- 1 ) = n ! . Signalons d'abord un pre- :édé très rapide. Nuus désignerons par E(r) le p'«s ier inférieur à x de sorte que, par exemple, la fonc-
)ntinue ~^ aura pour valeurs successives, suivant
POLVNOMBS DS LEGBNDRG — FONCTIONS BDLÉRIENN
que la partie eolière dex sera 1, 2, 3 elc, , -. ^ et( finition que nous avons donnée de l'intégrale délînie
pasies [onctions discontinues (n° If); l'ii
a donc une signification trfts nette, et l'on peut ccrii'i diatement en appliquant les formules les plus éliSmenl
; l'intégrale /
et l'on peut ccri s les plus éliSmei
= log 2 + 2(Iog 3 — log 2) -H ... -h n [log (« + 1) — = n log(«-(- 1) — log n!
Prenons comme valeur approchée de K(x) la X — 2 *l"i o'^" dîlTère jamais de plus d'une demiunit^
grale / 2 rfj. a pour valeur n — ^ 'og(» + '
valeur peut être prise comme valeur approchée de
4>n en déduit que
log n! ou loif r(« + t) ^lilTëre peu de
(«+*) log (« + !)- H.
154. Mais cette méthode rapide à l'inconvénien donner aucune îdëe de l'approximation avec laquelle la «ipresxicm permet d'évaluer tog r(M + !)• Nous allons «me méthode qui permet de serrer le problème de [
CiLCDi unnrtiBniiiL
U2 CHAI'ITHB IV
C'est la formule de Stirling, qui doune deux limiles
i/Sm
,Tmn''e-''.e"
entre lesquelles est compris le produit 1 .2.3...n. On peut l'écrire en prenant les logarithmes
logl-(« + !)=(« -h 2)log»-„-H 5 I0g2:: + ^. (3»)
Le dernier terme Icnd vers zi^ro quand ;i croit à l'infiai: l'ensemble de ceux qui le précèdent constitue donc une valeur asymptotique de log r(« -+- !)■ Oetle valeur dillère peu de celle que nous avons donnée à la Qn du numéro précédeol.
IS5. Kn réalité, la formule de Stirling est plus complète en ce qu'elle donne une expression du terme complémentaire
Si Ton écrit le développement en série
-J--J = 1 g + j^ x' - yy ar' + ... + (- 1)—' ^ a,»- -+ ....
les nombres B,, Bj ... sont appelés nombres de Bemouilli. Ih ont pour valeurs
«.-ft. «.-35- B.-f2' "' = 30 «.-gg. B. = 2^, B, = g...
Cela [losi-, li; Icnno niinpli'mcntaire de la formule tie
POLYNOMES DE L£Gi^NOElE — FONCTIONS EULÂRIBNNES 213
StîrlÎDg, donné en premier lieu par Ëuler dans le cas de n entier, est
avec
Nous renverrons le lecteur, pour la démonslration, à Touvrage déjà cité de J. Bertrand.
La série, qui représente R^* ^^t divergente sip croit à riniini; mais limitée comme nous Tavons fait, elle fournit bien une expression qui tend vers zéro pour 7i = œ . H y aura lieu, dans chaque cas, de choisir la valeur de p la plus avantageuse. Dans sa thèse, M. Bourguet a démontré quil convient de s'arrêter au rang p pour lequel p est le plus grand entier
inférieur à im -h v 4- 7^7% — .
Fonctions eulériennes de première espèce
156* On appelle fonction eulérienne de première espèce et on désigne par la notation B(p, q) la fonction de deux arguments
h(p, q)= I xP-^i — x)9-'dx. (40)
Cette fonction est symétrique par rapport aux lettres p et q, comme on le voit en posant x == i — y. On peut encore Técrire
en remplaçant x par ï-^ .:
!%?)=- / 7Tiir:.nrr.dx. (41)
OU encore
B(^), q) = 2 I sin^'/-'w cos-P-^i^dià, (41 bis)
Jo en posant ce = cos'^to.
157. Intégrons le deuxième membre par parties ; nous obtenons la nouvelle forme
B(P, q) = ^^ / ^^i - xY-'dœ, d'où Ton déduit, en écrivant [l - (1 - ^)] ^''' an lieu de.v;^
De même
B(p/y - A) = ^-^.^-iii-i B(P.Î - A: - 1). d'où
Celte formule permettra de ramener le calcul d'une fonction n{p,q) quelconque à celui d'une fonction où q serait compris entre zéro et un. On pourra de même réduire p à être eotre zéro et un.
158. Supposons maintenant (7 entier, et faisons dans la formule précédente k = q^2; elle devient
POLYNOMES DE LEGENDRB FONCTIONS BULÉRIBNNBS 215
On voit directement que
d«nc
Si de plus ^ est aussi entier, cette formule peut s'écrire
et elle est ainsi mise sous une forme symétrique par rapport aux deux arguments.
159. V intégrale de première espèce dégénère dans celle de deuxième espèce si q devient infini. Pour le voir, revenons à la formule (42) où p est supposé quelconque ; remplaçons B(jp,y) par l'intégrale qui lui sert de définition et dans cette
intégrale, écrivons - au lieu de x. Nous obtenons la nouvelle égalité.
\ qj 2KP h- 1)---(P -+- ^ — *)
On peut maintenant supposer q infini ; le premier membre tend vers r(p), ce qui démontre la proposition énoncée, à savoir que
lira B(p,q) = T(p).
q=sco
Mais la démonstration montre en outre, de nouveau, que l*on a
xP-'e-^dx^ lim -7 9^ijLZlDl
en enli'c iilleurs b< espèce s'e < deuxièn.
lent se i
r signalé ! rcmplai
P0LTN0UE8 DE LEGENDRK — PONCTIONS EULÉRIENNBS 311
Or la formule (43) nous inonlre que
101. Celle égaillé va nous permettre de retrouver un certain nombre de résultalâ déjà obtenus autrement. Supposons
La formule (i4) devient
B(p,i-p) = r(pni~p).
D'autre part la formule (41) donne, dans la même hypothèse,
B(p,l-p)= / or l'on a vu n*» (129) que
En particulier si p
<iS>
•ilk-i
9rilt
OSHO
95Si
9fiOS
16!S^. Nous n'avons jusqu'à présent utilisé, comme mode de représentation des fonctions, que les séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable. Les fonctions qui sont susceptibles de ce mode de représentation sont dites fondions analytiques. Mais il existe bien d'autres manières de représenter une fonction, môme en se limitant au procédé du développement en série ; les différents termes de la série peuvent être des fonctions trigonométriques, des polynômes, ou même des fonctions transcendantes plus compliquées. Les fonctions ainsi représentées pourront être analytiques ou non, être, ou non, continues, avoir ou ne pas avoir des dérivées etc. On aperçoit ainsi de nouveaux principes de classiBcation des fonctions; on entrevoit un domaine illimité ouvert à l'analyse, domaine qui commence à peine à être exploré et où nous n'aurons garde de retenir le lecteur. Nous nous bornerons dans ce chapitre aux séries de sinus et de cosinus, ne donnant de cette étude que ce qui est strictement utile pour les applications.
163. C'est Fourier qui a le premier affirmé qu'on pouvait •représenter toute fonction f{x), pour des valeurs de x comprises entre zéro et 27r, par un développement de la forme
in = X
f{x) = Cq 4- ^ («wcos mx 4- 6m8În niœ) (1)
m étant un nombre entier positif.
ili!
chi
nen
SÉRIES DE FOURfER — SERIES DE POLYNOMES '221
dans laquelle nous avons dcrit a au Heu de x dans les intégrales.
164* 11 est indispensable de remarquer que la marche qui vient d'être suivie ne suppose nullement la fonction continue; il suffit qu*elle soit întéfiçrable. Par exemple la série de Fourier représentera parraiteinont une fonclion qui serait égale à x entre zéro et tt et à x- enUc zéro et 2tz. L'on voit ainsi quel intérêt elle présente pour l'ingénieur qui rencontre rarement des fonctions analyli<|u< s pouvant rendre compte d'une manière satisfaisante de tous les phénomènes observés, même dans un domaine assez restnMnt.
D'ailleurs la limitation aux valeurs 0 et 2tz n'est qu'apparente. Si, en efTet, on a besoin de représenter une fonction entre les valeurs a et 6 de x, on fera la substitution
les limites correspondantes pour j/ seront zéro et 2r..
165. Pour donner au moins un exemple, considérons le développement de k que nous avons utilisé au n^ 69. Ici on a
a ces m^doi
2ic ^2it
sin moidoL = 0
— sin mœ 1 — 5 — 1 si Jo V 0
a sin mvdfi — 00 CCS mx I 1 /
ces madoL == — —
222 ClIAPiTRE V
On a donc, pour x compris entre zéro et 2t.,
ce TT sin .0? sîn %c sin mr
166. Dans le développement précédent, ou plutôt dans celui qu'on en déduit pour ir — a\ ne flgurent que des sinus. Il en sera de même toutes les fois que la fonction f(pc) changera de signe, sans changer de valeur^ par le changement de x en 2Tt — X. En effet soit
on en tire
f{a) cos marfa = — I f(y) co8 7nydy^
ou
2 / /"(*) cos 77l%d% = 0
De même si f{x) n'est pas altérée par le changement de x en 2t. — Xy on aura
I /*W sin 7n%iix = — / f{y) sin ^/ij/^V
! / /(a) sin mw^a = 0,
et ce seront les sinus qui disparaîtront dans le développement.
167. On peut môme aller plus loin et se proposer de représenter une fonction quelconque, soit par une série de sinus, soit par une série de cosinus. Soit en effet la fonction f{x)
SBRtES DE FOURIGR — SKRIKS DB POLVKOMES 221
qu'il s'agit de représenter; nous supposerons cette fonction déBnie entre 0 cl r., et nous considérons la fonction auxiliaire o(t) définie par les conditions suivantes :
f{x) = f(w) pour 0 < ^ < r, ^2tc — a>) = /"((t) pour ir < at <; 2^.
D* après ce qui précède on aura
V(*) = 5^ / o(ii)rfn- ^ ^ cos »!,.^ / 9(1) cas mxHi. Mais on a, pour les deux intégrales
Donc enfin, entre 0 et r,
/■(a) ces »w(/a. (5)
Si l'on veut exprimer / {x), en série de sinus, on posera
^{x)=f{v) pour 0<j;<t:, .p(2Tt ~j,) = ~f [.v) pour T.<x< 2t..
et l'on trouvera sans peine
168. Jusqu'ici nous avons supposé que le second membrede la formule (3) représentait bien f{x). L'étude des conditions pour qu'il en soit effectivement ainsi est des plus délicates, et
nous ne pouvons songer même à énumérer tous les théorèmes énonçnnl des conditions suflisantes. Voici les plus usuelles : elles sont connues sous le nom de conditions de Dirichlet : si la fonction v>[x) reste finie et continue pour toutes les valeurs de x (^auf peut-être pour quelques-unes) et n*a çu^un nombre limité de maxima et de minima dans l'intervalle considéré (*), la série de Fouricr a pour valeur ^ [f{x -t- 0) 4- f(œ — 0}].
Si donc X n*est pas un point deHliscontinuilé, la valeur est bien f{x).
Nous donnerons la démonstration de ce théorème {n^ 168 à 171), bien qu*elle soit un peu hmgue ; elle peut d'ailleurs être passée sans inconvénient à une première lecture. D&>ignoaft
par - (p(.^*] la somme des termes de la série, arrêtée au multiple
(*) II existe des fonctions qui ne remplissent celts condition dans aucun intervalle. Voici, par exempte, une fonction signalée par M. Darboux dans son mémoire sur les fonctions discontinues (Annales Ec Norm. 1875) auqu 1 nous avons fait de fréquents emprunts. Soit E(a;) le plus grand entier contenu dans x,
ûj H- aj -+" ... 4- a» + ... = A, une série absolument convergente. La série.
est uniformément convergente et discontinue dans tout intervalle. Que
la série soit absolument convergente, cela résulte de ce que S!!£) est
nx
inférieur à un. Soit alors x =z^\p eiq étant entiers. Comme, po«r a entier, on a E(* + 0) = a et E(a — 0) = a — 1 , ou aura
fix + 0) = /(jp), et
La fonction f{x) est donc discontinue pour toutes les valeors cornmensurabies de x.
px de X. Comme l'on peut faire eatrer le facteur ces mx ou le facteur sin mx sous le signe y, on aura
(cos mx cos ma -+- si
ÎQ mx sin in%) 1 c/z,
Or on sait que
^ sm -^2 — (^ — «)
^ -H cos (a? — a) -h ... -+- cos p(a? — a) = — . (7)
2 sin
On aura donc
sin '^r, — {po — «) î(^) = / A«) -^:r—. dx.
2 sin
el tout revient à chercher la limite de <p(x)y si elle existe, lorsque p croit à FinCni.
1 60. Il y a deux cas à considérer suivant que x est compris entre 0 et 2ic ou est égal à une de ces limites. 1» Soit
Nous pouvons écrire
La première de ces intégrales peut être transformée en posant
Calcul niFHinisiMÀL
2° Soit L'intégra
•-h Duns la [
SÉRIES DB POlIRlBa — SKBIB3 DE ?OLVNOMBS 227
dans la deuxième, « par 2t/, nous oblieaJrons <f(2n) sous la même forme que ip(0), de sorte qu'en résumé, quel que soitx, >f[x) se prôsenle toujours sous la forme d'une somme de deux intégrales telles que .
-f'^^'^'-^-irv^'oy
la limite supérieure a étant inférieure ou au plus égale k Tt.
170. Il reste à voir si I a une limite lorsque p croit à i'in- ÛQÎ. Nous considérons d'abord le cas particulier, où ^ij) = 1 et a = ^. L'intégrale à Calculer
ou, en revenant à la forme (8)
)rme (8),
J^ ~^2 sin «
s'obtient immédiatement grâce à l'identité (7). On trouve
Supposons maintenant que la fonction ■^(jj) soit continue et ne croisse jamais dans l'intervalle de zéro ii a; on peut alors la supposer positive en l'augmentant au besoin d'une constante C sufllsamment grande, ce qui revient, d'après ce qui
précède (form. H), à augmenter l'intégrale de C.^- Appelons
r le plus grand multiple de .> — — -r inférieur k a que nous sup-
Quant à celle qui a pour limite supérieure a, elle est évidemment inférieure à / . I se présente donc sous la forme
rwTT
2yT^
d'une série de termes alternativement positifs et négatifs, et décroissants,
I = M,, — Wi 4- W, + ... + (— 1)»"W,n -i- ... + K— *)'Wr (*2)
Cela s'applique si ^(y) = i et l'on a aussi
J = I = t?o — t?i -4- Vj -+- ... H- (— l)*»!?,» + ..., (13)
en posant
(m + Dit
Si l'on désigne par M* le maximum de 4^(3/) et par nik le
kit (k + 1 )ic
minimum lorsque y est compris entre gïïTjûl ^^ kp 4- i > ^^ aura
m/ct?* < w* < MfcrA,
et par suite, comme pour m = oo ^ lim ©,„ = 0, on aura aussi lim w^ = 0. 1 a donc une limite finie et déterminée. En remplaçant alternativement dans (12) les termes par leur maximum et par leur minimum, on a
I > m^v^ — M^v^ + w^rj — M3V3 4- ... ) ^ ^
Mais, comme <!'(î^)ne croit jamais, on a
Mo > ^0 > Mj > mj... > Mfc > fMfc...
171. Nous avons dû, dans le courant de la démonstration^ introduire certaines restrictions que nous allons lever.
D'abord, si la fonction ^(y) n'allait jamais en décroissant entre o et A, la fonction — ^(y) n'irait jamais en croissant et on pourrait lui appliquer la démonstration précédente, qui convient par suite à 4'(y).
Nous allons nous affranchir maintenir de celte condition de variation dans un sens déterminé. Pour cela, une remarque
préliminaire sera utile. Soit 6 <; a < «î ^"^^ ^ •
/a m 5^1^ dy = 0 (18)
pour^} = oc ; car l'intégrale est la différence de deux intégrales
qui tendent Tune et l'autre vers 2 ^{-^ 0). Cela posé, si ^(y) a
un nombre Oui de maxima et de minima entre 0 et a, il suf Gra de partager l'intervalle total en intervalles dans chacun desquels ^[y] ait un sens de variation déterminé ; dans tous ces intervalles l'intégrale sera nulle (form. 18), sauf dans celui qui a pour limite inférieure zéro où la limite sera encore
Il ne reste plus qu'à dépasser la limite supérieure ^. Soit donc « > g ; nous écrirons :
près la 1 pas égal , elle a [
'». App
i à la fonc est difTé montre
