MO

même n enCn l'o ier (n" i (x) aura

SÉRIES DB POUniBR — SERIES DB POLYNOMEf

\[n-^o)-^r{2r.-(i)] si

Donc, si pour la valeur considérée de x, f{x) est continue, c'est-à-dire àf{x — 0) = f{x h- 0), la fonction ïei-a représentée par la série de Fourier, bien entendu sous les réserves formulées dans l'énoncé du n° 167 : il en sera de même aux limites, si, de plus, /"(O) = /■(2it).

173. Il y a bien d'autres cas où la série de Fourier peut représenter une fonction donnée. Ainsi ^l^^) pourrait devenir infini pour y^y^,h. condition do conserver un signe constant de chaque côté de y^ et dans le voisinage de y^, et aussi à condition que

VKy)dy,

lût bien déterminée. Mais nouti n'entrerons pas dans l'examen de tous les cas qui peuvent se présenter; nous ne rechercherons pas non plus si la série de Fourier est toujours uniformément convergente, comme il a fallu le supposer pour déterminer les coefficients. Nous nous bornerons à énoncer qu'il en est bien ainsi dans tous les intervalles où ne se trouve pas de point de discontinuité.

IT*]. Pour donner un exemple de fonction discontinue représentée par une série de Fourier, imaginons un triangle isocèle OCA et un point M se mouvant sur la ligne brisée formée par les cùtés égaux OC et CA. La fonction que nous voulons envisager est la distance du point M h la base OA. Nous supposerons que la base ait pour longueur 2n et nous appellerons h ta hauteur du triangle ; les axes de coordonnées seront la base, Ox, et la perpendiculaire, Oy, à l'extrémité 0 dr cette base. Le côté OC a pour équation

De même

-— ces inxdx -+- / - (2'7: — x) cos vixdoo

- X cos mxdx = -- ^ < „ ;

Donc la fonction discontinue que nous avons déHnie a pour expression

h 4/i / cos 3x cos *»./• \ ,.jo\

2 ït" ( ^^^ '''' "^ 3* ' 5» ^ ■" / ' ^ ^

175* M. Hûnvitz (C. R. 18 février 1901) a fait un heureux emploi de la série de Fourier pour démontrer ce théorème bien connu : « Entre toutes les figures planes isopérimétres ^ le cercle a l'aire maximum. » Nous donnons ici cette dcmonstralion très simple qui suppose seulement la possibilité de développer les coordonnées d'un point en séries trigonométriques» hypothèse de même ordre que celle, faite si souvent implicitement» qui consiste à supposer les fonctions développables en séries de Taylor.

Soit C la courbe donnée^ s son arc compté à partir d'une origine arbitraire ; l'unité de longueur est choisie de manière que la longueur de la courbe soit 2Tt. Les coordonnées a: et y d'un point de la courbe sont des fonctions continues de 5 ; ce sont des fonctions qui admettent la période 2-k et que nous supposerons développables en séries trigonométriques

X = ^ {ctn ces ns -h a'n sin ns)j

y = ^ (6„ cos ns 4- h'n sin ns).

SERIES DE POURIBR SÉRIBS DE POLY.NOMLS ISt

et la courbe a pour équalions

ic = Oj -1- a, cos nj — 6, sin m, y = d„ 4- A, C08 ns + tt, si'n jw,

d'où l'oD déduit

{a, - a,y + (y - 6,)> - aj + 6Î :

c'est biea ['équation d'un cercle.

Séries de polynôme»

176. Nous avons dit qu'il exisde bien d'autres manières de représenter une fonction. Sans vouloir insister longuement sur ce sujet, nous montrerons que les polynômes de Legendre se prêtent fort bien à la représentation d'une fonction quelconque. Ce sont les propriétés IX, établies au vk" 131, que nous utiliserons ici, savoir

X,,X„rfa; = 0 el / Xtdco

Posons

f{x) = A,X„ + AiX, 4- ... + A,X, I- ... (27j

Multipliant les deux membres di; cette égaillé par X^t/x (>l intégrant de — 1 à+ l,nous trouvons, à cause desideotilé3(26),

lipliaat par ] e les mêmes

na>)dx. (28)

De même, en mullipliaat par "K-pdx les deux membres de (27), et intégrant entre les mêmes limites, nous trouvons

géométrique, et même à des polynômes P^,, P^, ... P^ quelconques de degrés 0, I, ... w pour lesquels il existe une fonction f{x) telle que

f{x) "^m^ndx = 0,

toutes les fois que m est différent de ;a. Nous ne suivrons pas !*éininent géomètre dans celte étude; il nous suflit d'avoir laissé entrevoir au lecteur que les modes de représentation des fonctions sont en nombre infini et qu'il peut parfois y avoir intérêt à ne pas rester exclusivement dans le domaine de la série de Taylor. On pourra lire aussi avec profit un Mémoire de M. Appell « Sur une classe de polynômes » {Annales de l'Ecole normale 1880). D'ailleurs ce problème a été récemment l'objet d'importants travaux. M. Painlevé (Comptes^ Itetidus de l'Académie des Sciences 1898 et 1899) et M. Mittag- Leifler (Acla Maihemalica, tome 24) ont étudié la représentation des fonctions analytiques par des séries de polynômes; enfin M. Emile Borel {Leçons sur les séries divergentes j 1901) a repris le même problème et considéré des séries de polynômes représentant des fonctions 7ion analytiques.

INTEGRALES DOUBLES

culaires au plan desory menées par les points de Faire A ne rencontrent S qu'en un point. L'axe des z est supposé perpendiculaire au plan des xy.

Pour évaluer le volume Y, nous prendrons dans A un petit élément 9| do surface ; cet élément peut être considéré comme la base d^un cylindre parallèle à oz et limité à S. Le volume V sera la somme des volumes troncocylindriques qui ont pour bases tous les éléments œj de Taire A. Evaluons un de ces volumes : soit Mi un point de la surface S projeté en un point de 7i, et soit ^i sa distance au plan des xy ; ce volume aura sensiblement pour expression

Si maintenant on appelle Zi et Z; la plus petite et la grande des valeurs de (^ pour l'élément 9^, on aura

plus

^i^i < <^»î» < ^iZi,

et Ton pourra afGrmer que l'erreur commise en prenant pour expression du volume élémentaire considéré (rjC» est inférieur à

Le volume V aura pour expression approchée

2»iîrf

avec une erreur inférieure à

2».<Zi - zd ou, en appelant v^ la plus grande des diflérences Z, — Zi, k

SœjIj = f^'St^i = A.tj.

Si Ton suppose que l'aire A soit décomposée en éléments (Tj de plus en plus petits, la somme S^i!;. aura pour limite le vo^ lume V considéré^ Terreur At^ tendant vers zéro. On aura ainsi

V = lîm Sffiîi.

Calcul iRmurisiMAL

242 CHAPITRE Vi

180. Débarrassées de toute représentation géométrique, les considérations précédentes reviennent à ceci : soit 7 un élément d'une aire plane A, ; l'ordonnée (parallèle à oz) d'an point de 9, la somme

SaÇ, (2)

étendue à tous les éléments de Taire A, a, sous certaines conditions évidentes de continuité, une limite que nous appellerons une intégrale double. Nous venons de parler de conditions de continuité ; il est évident, en effet, que si, pour un nombre infini d'éléments (r^, V oscillation^ Zt — Zi^ que nous avons rencontrée dans le numéro précédent, ne tendait pas vers zéro avec (Ti, ou si, en quelques points, cette différence était infinie, il ne serait plus possible d*af6rmer que Texpression Ai) tend vers zéro ni que la somme (2) a une limite. Nous exclurons de notre analyse ces cas de discontinuité et nous supposerons que les fonctions considérées par nous sont intégrables. S'il nous arrive d'admettre des fonctions discontinues, une étude spéciale sera nécessaire.

181. Supposons la projection nii du point M{ définie par ses coordonnées rectangulaires xi, yi\ Ci sera une fonction continue de ces coordonnées, f[Xi, t/i), et l'on pourra prendre pour élément de surface 9 un rectangle dont les côtés seront parallèles aux axes de coordonnée. Si l'on appelle œj,^ yf, les coordonnées du sommet mk de ce rectangle opposé à mi. Taire 9 aura pour expression.

(r* — Xi) (yu — yd

et l'intégrale sera la limite de Texpression

^A^ yd i^k — ^i) (y* — yd ; nous la désignerons par la notation

I = î>/l(a?, y)dxdy. (3)

Mais il ne faut pas quo IVmploi piématuré de la notation différeulielle introduire do Cunlusioa : les Jeux ditTéreatiLlles

1N1EGRALBS DOUBLES 243

dx et dy sont jusqu'à présent ioséparables et ne Ogurent que par leur produit.

1 83. Sî, au lieu de coordonnées cartésieDoes, nous avions pris, pour déterminer la position du point r/ii, des coordonnées polaires, p^, uij, l'ordonnée !^ aurait été une fonction ip(pi, u),)des nouvelles coordonnées, l'élément de surface aurait eu pour expression

pi(p* — p.) (">* — ">;)

et rinl<5grale aurait eu pour valeur

iim S?(pi,U()pi(pA — p() (o>A — Wi) = S(p(p,io)prfprfco (4)

Ici, comme dans le n" précédent, il faut donner aux deux coordonnées une succession de valeurs telles que l'aire A soit entièrement couverte par les éléments de surface 3. A la vérité, sur les contours de A, il arrivera que les rectangles m^k àhfinis au n° 180 puissent sortir de A, ou laisser des portions

iaûniment petites de A en dehors de la somme effectuée ; mais, à la limite, ces éléments nt'gligés ou surabondants disparaîtront si l'on n'a pas alTatre aux fonclions ou aux contours exceptionnels que nous avon:! exclus de notre analyse.

183. L'évaluation d'une intéf/ralfi double se ramène à celle de deux intégrales ordinaires. — Nuua nous servirons encore

24i CHAPITRE VI

tie la représentation géométrique pour présenter la dëmonstration de ce thiktrème. Supposons, par exemple, qu'il s'agis^H d'évaluer l'intégrale (3)

d'après la définition, nous devons considérer le rectangle mimi, et faire correspondre à ce rectangle l'élément d'intégrale

puis faire la somme de tous ces éléments pour tous les rectangles qui remplissent l'aire A. Supposons d'abord 7i et/, constants et faisons varier yi depuis t/ ^pm' jusqu'à^ =pif; la somme de tous les éléments d'intégrale double ainsi obtenos aura pour limite, par définition,

(Xt — Xi) I fiXi.y)dy ou dxf 1 f[Xi.y)dy.

Si maintenant on fait varier Xi de sa valeur minimum a à sa valeur minimum b, et qu'on elTectue la sommation, oa aura

= dx j f{^.

^f{'^,y)da>d!/ = I dx I f{^.y)dy.

Il est clair qu'en appelant c el d lea valeurs minimum el maximum de y, et jf, af les deux valeurs limites é»xqa\ correspondent à une valeur de y, on trouverait aussi aisément

S/{x,y)dxdy = 1 dy j f(Xty)dj!.

INTEGRALES DOUBLES

On aurait de môme

S^(pyff>)pdpdio

)prfp.

1 84. La démonstration qui précède suppose essentiellement que Taire fermée A est convexe. Mais le cas contraire ne peut présenter aucune difficullé; par exemple^si le contour de Taire A

offre la disposition suivante, à toute valeur OP de Tabscisse comprise entre OA et OB, correspondront quatre valeurs y', y'>y^ y" de Tordonnée (y' <y'<y'' <y% et dans la formole (5) il faudra remplacer l'intégrale

par la somme

/f{^fy)^y>

/f{x,y)dy -h / f[x,y)dy.

laut que x sera compris entre OA et OB.

: les trois n est

aleur doni faudra le I }n aura do

INTÈOBALKS DOUBLES

or, X étant considéré comme constante dans la se grale, on a

d'autre part, à cause de l'équation de AB,

Le volume V se ramène donc & l'intégrale simp

180. Comme deuxième exemple, cherchons à volume qui reste lorsqu'on enlève du volume d'ui portion comprise à l'inlérieur de deux cylindres di à axes parallèles, tangents entre eux le loDg d'un < la sphère et tangents & la sphère.

Nous prendrons, ce suivant lequel se touci coordonnées le centi pour base dans le pla et tangente en A à plan xoy et il est é\ volume demandé coo pliant par 8 ce volur En désignant par ^ et (les xy, ox étant l'axe de la sphère seront x

R désignant le rayon Le volume à i<va (formule 7) *

On voit en effet que, OM = p' à ON = R.

d'autre part On a donc

V = et pour le volume toi

INTEGRALES DOUBLES 249

Il est remarquable que ce volume soit indépendant du nombre ic.

Théorèmes sur Tordre des Intégrations

187. Il résulte des formules (5) et (6), comme aussi des formules (7) que, si Ton a à efTeciuer deux intégrations successives, on peut intervertir Vordre des intégrations :

dx I f(u\ y)dy =1 dy j f{x. y)dx

Les deux membres sont égaux parce qu'ils représentent tous

les deux l'intégrale double

S/x, y)dxdy

étendue à Taire A.

Le cas que nous rencontrerons le plus fréquemment est celui où les limites y' et y" sont indépendantes de x, les limites sd et x' étant aussi indépendantes de y, la formule (8) se simplifie alors et devient

dx / f{x, y)dy = 1 dy 1 fU, y)dv ; (9)

cette formule est souvent employée sous le nom de formule d'intégration sous le signet . Pour comprendre cette dénominatiouy écrivons a au lieu de x et soit, pour un instant^

1= / r(^.y)dy.

•r membre devieat / ^dx ■ le second membre

m pourra d'abord intégrer par rapport & s la fonc- ;ui flgure sous le signe / dont la valeur est I . narquer que, dans la démonstralioa de la Tor- U8 avons essentiellement supposé la fonction f{x,^\ DaCme positive ; mais celle dernière restriction est inutile et tous les éléments pourraient être

{u'à présent le contour qui limite l'aire A a été )é ; nous allons voir ce qui arrive lorsqu'un point on du contour est rejeté à l'iDGai. Pour préciser, ule (f)), supposons d'abord que h croisse à l'inlîni.

est que, quel que soit y.

A-, y)dx

■opour d = ce, et que, dans les mêmes conditions

imite bien déterminée, cette limite étant une fonc-

ed'y.

aute (9) a lieu pour toutes les valeurs finies de Ar md que soit h ; le second membre, qui est l'ioté- Fonction continue d'^, est bien déterminé, mime

INTKGRALKS DOUBLES 251

pour b = oo ; il en est donc de mi^me pour te premier qui est constamment égal au second, et Ton a

On verrait de même que

rdx j

f(^,y)dy= I dy \ f{:r,y)dx. (11)

I80* Les formules qui ont été établies dans les deux numéros précédents sont parmi les plus utiles de Tanalyse. Il en résulte une nouvelle méthode pour le calcul des intégrales définies. De plus les conditions de continuité dans lesquelles elles ont été établies étant impératives, si l'on constate^ dans certains cas, quune des égalités (8) à (il) est remplacée par une inégalité, on pourra afGrmer que cette inégalité tient à ce que la fonction à intégrer est devenue infinie dans le champ de Tintégration.

1 90. C*est ainsi que Gauss a démontré le théorème fondamental de Talgëbre : Toute équation algébrique à coefficients réels ou imaginaires a au moins une racine réelle ou imagi^ naire.

Soit l'équation

F(û7) = h^ 4- AjO?"»-» + ... 4- A^'"-* 4- ... -i- A« = 0 (12)

Désignons par p^ et a^ le module et l'argument du coefficient Aj, et soit

X = p(co8 « -h » sîn w).

L'équation (12) pourra s'écrire

f{a:)= 2 Pp?"^"^' \ cos [oLj, H- (m— J9)w J H- isin [a^, 4- (m — p)u)] | = 0 ,

ou encore

'" coa (a,, + m<x

D'après les propriél (12) ne pourra Aire véi

ou, ce qui revient au quantités sont réelles,

Or la quantité P* 4sances différentes et f] do la quantité

les numérateurs étant Si l'on peut démon infinie, le théorème s usage de la remarque ( que les deux intégrale!

f-fi

prises dans un champ même valeur. Les lin une valeur sufQsamme

INTEGRALES DOUBLES 253

Calculons d'abord

On a ^

àp~ F* -+- U' •

les lignes trigonométriques qui figurent dans P, Qi r- et ^

prenant la même valeur pour o) = 0 et pour b> = 2ic ; il en résulte

quel que soit p, et par suite

Calculons maintenant

On a

les termes non écrits dans la dernière fraction sont, en p, de degré inférieur à 2m. On sait que, pour p infini, la fraction a pour limite — m ; on peut donc trouver une valeur R de p assez grande pour que la fraction diffère de sa limite d'une

quantité moindre que tout choisirons cette valeur pour li lion par rapport à i : conimi

on a, toujours pour p = 0,

r, étant une fonction de m ccrti absolue. Par suite

J ' "l'^Jo

Mais il résulte du premier I a évidemment

s pouvant être pris aussi

/Au [— Ldiffèrc peu de

par conséquent, n'est pas éga

di5montre le théorème. II en i plu^iiui-s valeurs, d'ailleurs i et par Siiilc F(.r) est nulle.

INTEGRALES DOUBLES

toi. L'emploi des intégrales doubles va encore no nir la démonslratioa la plus simple de l'importaote fort du chapitre IV que doub avons établie assez pénible n" 159.

L'inttïgrale £ulérienne de deuxième espèce devical pose X ^ y*,

Multiplions les deux membres par 2.

ifrona entre zéro et l'ioBni ; il vient

les deux membres par 2x-^-'e-^^dx, o et l'ioBni ; il vient

r(p)T(q) = i I x'^-'e-'^dx f y'»'-'c-»'dy

ce que nous pouvons écrire

r(p) r(q) = 4Sï'* - 'y»P- 'e- {•* + ï») dxdy,

le champ de l'iniégration étant toute la portion du [ ry comprise dans l'angle xot/. Introduisons maînten coordoaoées polaires par les formules

ar = p C09 o>, y = p 8in <■>.

dxdif =: (idadi» ;

la formule précédente deviendra

r(p) r{q) =î *Sp? + ï- ' sÎQ*»- 'w coa»»" 'ow-frfprfw

Four couvrir tout le champ de l'intégration, il faud

varier p de 0 à oo et u de 0 & a; on pourra donc écrire

'■(p) ni) -

256 GHAPITRR VI

La dernière inU^grale a^ d*après ce qui précède, pour valeur 2 ^(P + 9) î ^^ * ^^^^ enfin

\ I si

D«Î-«W COS«^~*wrfj^ = ^^^^^^ (13)

Le premier membre représente (n^ 15S, form. 41 bis) ^{p^q)> On retrouve ainsi Tégalité

19!2. A la vérité, la démonstration précédente laisse à désirer, au point de vue de la rigueur, parce que nous avons raisonné comme si le champ de Tintégration était fini. Mais, en remarquant que les quantités sur lesquelles porte l'intégration, .r«?-«e-'^ ySp-^e-v», pî» + «-*sîn«?-*tD cos*^-*<i>c-P», tendent toutes très rapidement vers zéro pour x,y ou p infinies, le lecteur admettra, sans que nous insistions autrement, que dans l'exemple actuel, il n*y a pas eu inconvénient à étendre à TinGni les limites du champ d*intégration. Il en sera de même dans plusieurs des exemples suivants ; nous reviendrons d'ailleurs sur ce sujet, (pP 199).

Nous allons encore faire quelques applications ; nous obtiendrons ainsi soit de nouvelles intégrales, soit des résultats déjà obtenus par d'autres méthodes.

t. Soit 1= / e-^ J 0