Considérons Tégalité

qui s'obtient en intégrant deux fois le premier membre par parties, sous la condition a > 0. En intégrant les deux membres de cette égalité par rapport à a entre les limites a et p et effectuant pour le premier membre l'intégration sous le

signe f , on trouve

sm bxdx = arctg Ç — arclg r ;

faisons croître p à TinCni et tendre a vers zéro. Nous obtenons la formule connue (n^ 70)

sin bv , it

Calccl nnsatoiuxL 17

à condition que b soit positif ; sans quoi arctg t tendrait vers — K ,

19o. Soit encore à évaluer Tintègrale

' -^ dx, (U)

a et p étant deux nombres positifs. Nous nous appuierons sur C3 que Ton a évidemment

'-= I c-vdy. (15)

ce qui permet d'écrire ainsi l'égalité (14)

= / (e-«*— e-P*) / e-'^ydij Ulx.

Le facteur e~"* — e"?"", iadépeadant de la variable y, peut être introduit sous le second signe / : intervertissant alors l'ordre des intégrations, nous trouvons successivement

1= / dy l [e-(«+y)*tf-(P+y)a;],^^

dy t [e-

" Ci^ —\^y

INTEGRALES DOUBLES

lOO* Nous établirons enfin deux intégrales célèbres, ren- <;onirées par Fresnel dans l'étude de la diffraction.