y COS yrfa

ou, en intervertissant Tordre des intégrations,

da I e ^y ces ydy.

La dernière intégration peut maintenant s'eiÎQCtuer; il suffit d'intégrer deux fois par parties pour obtenir la valeur

e ^'^ ces f/dtj = -r

-ha^

La méthode de décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples montre que

fl« 2/2 , 2v/2

1 -i- a* a« -+- a v^2 -f- 1 a* — a v^2 -h T On peut de nouveau intégrer par rapport à a et Ton trouve

1= / cosœ''dx = ^. (17)

On trouverait de même

= / 8În o^'^dx = -^^

Le lecteur remarquera les formules (15) et (1 6) qui permettent

de remplacer - ou -p par des intégrales définies ; c'est un des

procédés de transformation les plus féconds.

Nous ajouterons que, si la formule (16) n'avait pas été expressément établie en supposant réelles ; les quantités qui y figurent et s'il avait été permis d y faire y = i == v^ — 1, celte formule aurait donné immédiatement les intégrales cherchées.

\ln effet, on obtiendrait ainsi

e aa -. 2-^/,- 2 ^3 '

comme e""^^'=cos a^^i sin a^, il suffit de séparer, dans la formule précédente, les parties réelles des parties imaginaires pour retrouver les formules (17) et (18).

CVt«*

1>'TEGRALES DOUBLES

Du changement de variables dans les intégrales

doubles

flOY. Nous avons déjà vu que, dans la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, l'in-

tégrale

se transforme en

S/(a?, li)do:dtj.

S/'(p ces (i>, p sin u))prfpc?u>.

Les considérations géométriques qui nous ont servi à établir cette transformation peuvent être employées quelles que soient les coordonnées, car il suffit d'évaluer dans ces nouvelles coordonnées Télément de surface.

Soient

les formules qui relient les coordonnées cartésiennes, supposées rectangulaires, aux nouvelles coordonnées {u, v). Appelons Xf y les coordonnées d'un point M du plan situé à l'intersection des courbes u = c*°, v = c*° ; x -h dx, ij -^ dy les coordonnées d'un point M' infiniment voisin sur la courbe u = c^^ ; a; 4- 007, y -f- oy celles du point M' de la courbe v = c^* infiniment voisin de M* On sait que Taire du parallélograme infiniment pelit qui a pour sommets M, M' et M" a pour expression le module du déterminant