X -{- dœ y -h dy

c'cst-d-dire

d.c^ij — oo:dtj

Sur la courbe u

= c^*, on a

dx = ^ dv, dy =z-ï dv;

sur la courbe v = c'=,

Si donc on désigne par | J | 1 riables x et ^ par rapport & u et

l'aire du parallélogramme inflnir sien I J I (^» dv, et l'intégrale do la suivante

108. Nous allons établir la mt quer des considérations géom«!tr ainsi étendue, au cas d'un nom Nous supposerons essentiellemei de X, y correspond un seul syst proquement; de plus le jacobien s'annule pas dans le champ de 1

L'intégrale (ly)peut s'écrire,

en n'écrivant pas les limites, poi première intégration àelTectueri variable est x. Remplaçons-la p cbangement de variables ordiu devient

INTÉGRALES D0UDLE3

la substiiuUoa étant définie par les formules (20) dans quelles il faut supposer y cooslaate, ce qui permet de c dérer t; comme une fouctiou de u déQnie par la deuit équation (20). La première équation (20) donne

cl la deuxième

on en lire

Notre intégrale peut ainsi s'écrire

Dans celte dernière intégration, il faut commencer par poser « constant ; on peut alors remplacer y par v a l'ait la seule formule

C'est de nouveau un simple échange de deux variables ■doit être remplacée par ^ dv et l'intégrale devient

= S/-[«(m,i.), i^u,»)] Jdude.

264 CDAPITRE VI

ce qui est bien la forme (21), avec cette différence cependant que nous obtenons J au lieu de | J | . La raison de celte différence est que, dans le n*" précédent, du et dv étaient essentiellement positifs ; ici l'égalité

di/ = -î- dv,

par exemple^ peut faire correspondre à un accroissement positif de la variable y un accroissement négatif pour v. La règle à suivre est facile à établir : supposons en effet que /l[j??,y)^l. L'identité obtenue se réduit à

Sc?.f dy = SJdu dv

Le premier membre étant essentiellement positif, il doit en ôtre de même du second ; le produit Jâ^ti dv doit donc toujours être pris avec le signe pltis.

La démonstration précédente pourrait laisser un doute dans

l'esprit du lecteur à cause du facteur ^ qui y a été introduit et

qui pourrait s*annuler en quelques points ; mais il est clair que le changement de variables pourrait être dirigé de manière à

remplacer x par v, ce qui introduirait la dérivée ^|. Lejaco-

bien étant supposé différent de zéro, Tune ou Tautre de ces dérivées sera, pour un point donné, différente de zéro, et la démonstration pourra toujours être faite.

Des disconliiiiiités el des champs Infinis