La fonction à intégrer peut devenir inCnie en un

j)oint (par exemple :;x-Tr57:i à l'origine) ou en tous les points

d'une ligne (par exemple __ le long de la droite x =y).Le

champ de l'intégration peut lui-même être infini, comme nous en avons rencontré des exemples. Tout ce qui précède n'a

INT£GBALBS DOUBLES 265

alors de sens que si les diverses intégrales que nous avons rencontrées ont des limites bien déterminées et indépendantes de la manière dont le champ devient infini ou du chemin suivi par le point (x^y) en convergeant vers le point de discontinuité. Or il n*y a aucune raison pour qu*il en soit ainsi en généra). Pour préciser ce point au moins par un exemple, considérons 1* intégrale^ envisagée par Cayley,

S sin (cc^ -4- y')7 (23)

élendue au champ infini compris dans l'angle xoy : si Ton exprime Taire d par des coordonnées rectilignes, on pourra 45crire l'intégrale (23)

I dx I sin (o)'- H- ij-)(fij

/>» />00 /'MC ."»y5

/ sin a:^d.v 1 cos y^dt/ -+- / cos .v'-d^r j sin y-dy.

*/o •yo ^0 ^0

Les diiTéren(s intégrales qui figurent dans cette somnie ont

été calculées (formules 17 et 18) ; la somme a pour valeur j.

Employons maintenant des coordonnées polaires; Tintégrale (23) peut s'écrire

' dio j sin p-.c

S sin p*,pû?pc?u) = I dio j sin o-,zdp

= J (1 -. cos 00 ) ;

cette expression est entièrement indéterminée. La difîérenco des résultats obtenus tient à ce que, dans la somme

S sin (a?* "h y*),

Cgurent une infinité d'éléments qui, pour x, y ou p infinies.

prennent des signes quelconques et se groupent d^une manière absolument arbitraire.

Il est impossible de formuler aucune règle générale. Mais voici deux résultats particuliers, analogues à ceux établis pour les intégrales simples, et qui nous seront utiles dans la suite.