Si, à r extérieur d'un cercle de rayon Rj le module de
f (ar, y) demeure inférieur à ^p"" *, A étant un nombre fixe et x étant supérieur à 2, l'intégrale
a un sens bien déterminé,
La partie I^ de I qui correspond aux parties intérieures à tout cercle de rayon fini, est finie et déterminée par hypothèse. A l'extérieur, écrivons le reste de l'intégrale
^= I rfio / f{^v,y)pdp;
"o ^ Po
En vertu des hypothèses faites, on aura, pour toute région extérieure au cercle de rayon R,
Po
ou
Or on peut prendre p^ et p^ assez grands pour que les deux fractions précédentes soient inférieures à tout nombre e Bx^ d'avance ; on aura donc, a fortiori
mit "■"*• «*
Lia quantité 1^ tendant vers zéro, f^ a une limite bien déterminée, ce qui démontre le théorème.
SOi« Si une fonction /(x, y) est infinie au point AIj mais si pozir tout point à IHiUérieur cCun cercle ayant pour centre le point M et pour rayon B, on a
. (A constante
mod. f{x,y)<:-z, ^a < 2
^ ( p distance au point M,
r intégrale sera encore bien déterminée.
Il suffit évidemment de considérer la partie de la somme S qui correspond à l'intérieur du cercle ; cette partie peut s'écrira
I oTto / /"(.r, y)odo.
Elle est inférieure en valeur absolue à la quantité
qui est finie. L'intt»grale I est donc finie,
20S. Supposons enlin qu'il y ait une ligne de discontinuité L et qoe l'on puisse tracer deux lignes parallèles L, et L^ romprenKnt L et telles que pour tout point du plan compris entre les deux lignes on ait
mod. /"(.r, y)<— ,
xr
i^ étant la distance du point (:r, y) à la ligne L, A une constante et a un nombre inférieur à un. Je dis que Tintégrale double (19) aura encore une valeur finie pour tout champ fini traversé ou bordé par la ligne L.
"S^TTïT^'
En effet, prenons comme coordonnées la longueur OP = cde la ligne L comptée à partir d*un point 0 de cette ligne et la
'FiG. 20
distance PM = w du point M(.r, y) à la ligne L, L'intogralc double à effectuer est
S/(ar, //) I J I dudv^
et, pour toute la portion du champ comprise entre Li et L. M partie correspondante de l'intégrale sera inférieure à
I J I dudv.
Calculons | J | ; la courbe L a pour équation
Nous supposons qu'elle ne présente aucune singularité dans le champ de Tintégration. La normale en un point aura pour équation (tome 1, n^ 288)
le troisième rapport étant écrit en remarquant que, en verlu de la définition de u, on a
M =~- 1 (X - o:f -h (Y - yf.
INTECaALES DOUBLES
Les Tormules de transformation sont donc.
nous n'avons pas vcrit ta variable v, dont dépendent exclusivement e, ^, f', -y, pour simplifier l'écrilure. Le jacobien J a pour expression
?" •+■ ■}'" — i'W-?' riî^i^j
et l'intégrale double (24) devient
En etTectuant la dernière intt>gration, on trouve
et cette expression demeure finie, quelque petits que soient »« el «i parce que * < I ; appeïons-la V. Il reste à calculer
A P-Ji^^
quantité évidemment finie ; car o' et 4<' ne peuvent s'annuler «a même temps. La proposition est donc établie.
203. Si la fonction à intégrer contient un paramètre arbitraire, on pourra encore, comme pour les intégrales simples,
et sous les mêmes conditi rentier sous le signe S, c'i
Inlégri
204. On est souvent c( autre espèce d'intégrales c ques mots et qu'on peut c des intégrales curviligne:
seront nécessaires. Consi n" 178, une portion de t et telle que toute parallèl point; soit encore r la pro
l'équation de la surface (S Nous supposerons que I c'est-à-dire que, si, pouru deux insectes placés pieds de part et d'autre de la s passer par les bords, quel(j
{') Il existe des surfaces qui est représeatéc ci -dessous et i
bande de papier : il suffit de re
La demi-normale issue d'un point M de (S), une fois fixée, le côté vers lequel on la mène, ne pourra jamais venir coïnei- ■ûer avec la demi-normale opposée, quelque chemin que parcoure le point M. MenoQs la d'abord du cùlô où elle fait avec les z positifs un angle aigu, et soit f cet angle. En vertu de nos hypothèses, pour tous les points de (S), cet angle demeurera aigu, et l'on aura partout, en désignant par da un élément de la surface (S)
dx dij = rfj cos -y (27)
en grandeur et en signe. On aura donc aussi
Sf(«,y,î) àx dy =: Stj(j;,y,3)rfiï cos f, (28)
z ayant sa valeur tirée de l'équation de la surface (S).
A l'intégrale précédente, ou peut attacher une intégrale ëgale et de signe contraire ; c'est celle pour laquelle en chaque point de (S) on considérerait, au lieu de la demi-normale envisagée, celle qui lui est directement opposée. L'angle y, de «elle demi-normale avec oz serait obtus, et cos 7, serait négatif.
305. Considérons maintenant une surface fermée convexe, de la forme d'un ellipsoïde par exemple. La courbe de contact du cylindre circonscrit parallèle à os partage la surface en deux parties (S,) et (S,). Sur Tune, (S,), \& Aetai-novmtAe extérieure fait avec os un angle aJgu; sur (S,) l'angle deo- avec la deminormale extérieure est obtus. L'intégrale double
S(B)ç(.ï-,i/.s)rf'cos-f
cliaut les bords exlrâmes, la face externe d'un bord coïncide avec la fuce interne de l'aalre. Le lecteur verra fucilemeot qu'en parlant du point visible A et se tenant par eiemple à csalc distance des deux bords, le ctiemia viendra, après avoir disparu quelque temps, reparaître en B, C pais D pour finalement revenir en A, mais du cûté invisible : on a donc passé de la partie visible en A à la partie invisible sans avoir jamais cbangé décote.
étendue à toute la surface (S) se compose donc de deux parties : Tune, que nous désignerons par la notation
S{i,)?(^,y,*K^ cos Y, pour laquelle Télément d^ cos y ^^t toujours positif, Tautre
S{Si)<?(a?,y,;y)c?<r cos y-
qui correspond aux éléments négatifs. En d'autres termes^ en revenant à Texpression cartésienne des différentielles (supposées essentiellement positives), on aura
^{^n[oo^j.z)d^ cos Y= S(s,)îp(a?,y,;î)ctoc?y-- S(sj)(ï>(/î?,y,^)cto dy. (29)
Le premier membre de cette égalité, que nous appellerons l'intégrale double prise du côté extérieur de la surface^ représente donc d'une manière concise une différence de deux mlé-
grales doubles. Nous admettrons encore qu'on peut représenter la même quantité par la notation
S(s)«(a?,y,«)c?a7 dy ; (30)
mais cette fois les différentielles dx, dy pourront être négatives. Avec la même extension nous emploierons encore la notation
)dx dy, (31)
206. Supposons par exemple que ^(x^yfZ) se réduit à z. La formule (29) devient
S(s)zd<j cos Y = S(sj)^cte dy — S{Si)zdx dy, (32)
Mais S(g,) représente le volume compris entre la surface (S,), le plan des xy et le cylindre circonscrit à (S) parallèlement à o^; le deuxième terme du second membre, dans Tégalité (32), représente un volume analogue limité à (Sa). La différence de
INTEGRALES DOUBLES 273
ces deux volumes n'est autre chose que le volume intérieur à la surface (S) ; Ton a donc par une expression unique et très simple
V = volume de (S) = Szd<j cos 7.
Ainsi considérons un hémisphère ayant son centre à Torigine et pour rayon R. Nous déterminerons un point de la surfaco par Fangle y, et par l'angle ^ que fait le plan qui contient le point et Taxe oz avec le plan zox. On a alors
.c: :=^ R cos Y d7 = Rc?yR sin ^.d'i^
d'où
d^'j sin Y C08^Y<^?Y 0 «A
3y -h sin y)c?y =5 ^R^.
20Y« On pourrait de même considérer des intégrales de surface
/ / ^K^^Uyzyhdx, I I x{x,tj,z)dydz, étendues à toute la surface qui a pour équation
ou mieux
^^yy,z) = 0.
Enfin l'on rencontre souvent dans la physique mathématique des expressions telles que
/ / \'^{^*y%^)dxdy H- ^pti^y, z)dzdx -i- '^{x,yyZ)dydz\ (33)
GaLCOL IXPnUTBglHAL 18
274 CHAPITBB VI
OÙ Ggurent trois intégrales de surfaces, et qui sont elles-] des intégrales de surface.
En désignant par a, p, y les angles que fait la demi-normale extérieure avec les axes de coordonnées, on peut encore écrire une pareille intégrale
(/ cos a -+- 4^ ces p -h ç ces '^)d<j.
M. Emile Picard a étudié ces nouvelles intégrales et notao>ment a donné la condition
pour qu'elles ne dépendent qne du contour G.
On démontre alors que q, ^, ^ peuvent ôtre mises sous la forme
î)« ^P . ôy 6a ôP î>Y
Nous n'entrerons pas dans le détail des démonstrations. Nous n'aurons d'ailleurs à considérer que des intégrales remplissant ces conditions, car ce sont celles que Ton rencontre le plus fréquemment eu physique mathématique.
Transformations d^intéffrales de surface en Intégrales curvIUgnes
208. Démontrons d'abord une formule d'un usage fréqveaf, et qui n'est qu'un cas particulier de la formule de Green sur laquelle nous reviendrons plus loin.
Soient F et Q deux fonctions d'or et d'y ccmti&ues et uniformes dans une aire plane ; soit
j J Uy t>œ)
dxdy
INTEGRALES DOUBLES 275
une intégrnle double étenduB à cette aire, et soit C la courbe fermée qui entoure celte aire. On a, en supposant yt < y,.
~ rfy = P{œ,y,) — Pia^yP^)
De même
l^dx = Q(a?„y) — Q(a?,,y)
avec j?i < a?,.
Donc
= / [^(^fVÙ - P(^»yi)] dx- I [0(a?„f/) - Q{o^,iy)] dy.
MaÎ8« si Ton tourne dans le sens trigonométrique sur le contour C, on a pour valeur des intégrales curvilignes suivjinies :
[P(/r,yO - V(x,fj,)] dm
y) — Q{-^ry)]dy.
La valeur de I est donc donnée par la formule
J J Uy ^x)
dxdy = -' I {^dx-{-^dy) (35)
Telle est la formule que nous voulions établir et qui transforme une intégrale double en une intégrale curviligne. En
^sv
réalité, elle suppose que le contour C n'est rencontré par des parallèles aux axes qu'en deux points ; mais il est facile de montrer qu'elle subsiste dans tous les cas.
Soit» par exemple la courbe, ci-contre ; il sufGt de la découper par des droites ou courbes telles que AB, BG, DE pour que
FiG. 22
dans chaque aire partielle la condition précédente soit réalisée.
L'intégrale double sera la somme d^intégrales étendues à
chacune des aires et, d'après la formule (35), aura pour valeur
^ ABMA ^ ACBA *^ AB ^^ BMA ^ ACÎB ^ BX
La première et la quatrième se détruisent : il ne reste finalement que
- / {Pdœ^Qdy).
Nous pouvons remarquer en passant que la formule f3o) permet de retrouver un résultat établi n<* 100. Pour que l'intégrale curviligne
I (Pd^
dy -r {idij)
INTEGRALES DOUBLES 377
soit nulle sur tout contour C, il faut et il suffit que le premier membre de Téquation (35) soit nul en tout point pris à Tintérieur du contour, c*est-à-dire que l'on ait
i^y dx '
!SM>9. La formule s'étend aisément a une portion de surface courbe quelconque limitée par un contour curviligne C. Désignons en effet par Tindication du chemin entre
parenthèses l'intégrale curviligne ( {Pdu -\- Qdv) prise le long
de ce chemin ; on a, en parcourant toujours les aiies dans le même sens^
(ABCD) :^- (ABCA) + (ACDA).
car
(ABCA) = (ABC) -h (CA) (ACDA) =-. (AC) 4- (CDA),
et
(AC) -h (CA) = 0.
On pourra ainsi découper l'aire par autant de courbes intermédiaires que Ton voudra. Supposons maintenant que le réseau {u^v) découpe sur la surface un quadrillage analogue à celui des coordonnées rectilignes dans le plan, et que ce quadrillage soit assez serré pour que chaque quadrilatère puisse être assimilé à un quadrilatère plan. On aura pour chaque quadrilatère, dont nous désignerons le contour par y>
rinté^rale double étant étendue à l*âire du petit quadrilatère. En faisant la somme de toutes les égalités pareilles pour tout le réseau, le premier membre représentera évidemme&t Tin* tégrale double étendue à toute Taire donnée ; le second membre, en vertu de la remarque préliminaire que nous venons de faire, sera l'intégrale curviligne prise le long de la courbe qui limite cette aire. On aura donc bien
Formule de Stokes
210» On désigne sous le nom du géomètre anglais une formule qui avait été auparavant utilisée par Ampère au moins dans un cas particulier. Elle concerne les intégrales dont il a été question au n^ 206 et qui sont prises sur une surface donnée,
Le théorème de Stokes consiste en ce que cette intégrale peut être exprimée au moyen de Vintégrale curviligne
{idx -i- ^dy -H YC?5), (37)
prise le long du contour G.
En vue des applications, il est indispensable de fixer le sens dans lequel est parcouru ce contour. On appelle sens direct^ en cinématique; le sens de gauche à droite, c'est-à-dire celui des aiguilles d'une montre ; nous adopterons ici cette déno-
minalion. Nous Bupposerona en outre que Le trièdre oxyx est direct c'est-à>dire qu'un observateur placé suivant oz, les pieds en o et la tôte eu z, voit daus le sens direct le mouvement qui amènerait ox sur oy par une rotation de 90°.
Ainsi que nous l'avons dit, l'intégrale (36) n'a de signiGcation précise que si l'on ÛTte le côté de la surface sur laquelle elle est prise. Menons la demi normale de ce c6té en un point M ; pour tout observateur placé suivant cette normale, les pieds en M, le sens direct sera bien détini le long de tout peUt contour enveloppant le point M : si ce contour emprunte une partie du contour C, un sens aura été Bxé sur C; c'est le sens dans lequel il faut parcourir C pour évaluer l'intégrale (37).
Cela posé, supposons dans la formule de Rieniann (n" 207) que Q soit nul ; elle s'écrit
