ST

en désignant par C, un contour tracé dans le plan de xy et qui peut Olre la projection de la courbe C.

Si, ce que nous supposerons d'abord, le côté choisi sur (S) est celui pour lequel l'angle de la demi-normale avec Os est aigu, te sens sur C, est le même que sur C et l'on peut écrire

Ifi'""-f:'

Supposons maintenant que P soit une fonction des trois variables x, y, s, :i étant elle-même reliée k xety par l'équation donnée de la surface (S). On aura alors, en désignant par

lune dérivée totale,

D'autre part, ( normale à (S) ave

La formule (2T et l'on a Gnalemei

On aurait de n fonctions.

Additionnons i trouvoDsentin

C'est, sous une autre forme, la relation annoncée. Nous avons flû, dans le courant de la dénionslration, supposer que le côlé de (S) sur lequel on înlt^grait était déterminé d'une certaine manière (cos y positif) ; on peut lever celte restriction. En eflet, si Ton intègre sur le côté opposé, les cosinus changent • de signe; mais, en même temps, le contour C est parcouru en sens contraire et le signe de Tinlégrale curviligne est aussi changé. 11 y a donc encore égalité entre les deux membres.

ail. Comme application, cherchons les conditions pour que l'intégrale

[Pdx -h Qchj -+- Rdz)

soit nulle le long de tout contour C fermé. 11 résulte de la formule (39) qu'il sera nécessaire et suffisant que Ton ait

ce sont les conditions qui expriment que

^dœ -h Qdy -f- Wdz

est une différentielle exacte.

Sous les mômes conditions, l'intégrale

(?dcc -h Qdy -+- Mz) ^^

pourra être considérée comme une fonction V{xyyyz) de sa limite supérieure, et Ton aura

*>-Ty!*