APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES MÉTHODES D'APPROXIMATION

812. Avant de continuer la théorie, faisons quelques applications des règles établies dans les six premiers chapitres. Les lecteurs trouveront à la suite du chapitre Vril un grand nombre de résultats, qu'ils pourront s'exercer à vérifier; nous voulons seulement donner ici quelques exemples de calcul. Ces exemples s'appliqueront successivement aux rectifications d*arcs^ de courbes planes ou gauches, aux quadratures d*aires planes ou courbes» et aux cubatures (mesures de volume).

Rectifications

S 13. Nous avons déjà donne dans le tome I®' (n^ 286) la rectification de la cycloïde. On peut aussi trouver la longueur de V arc d*épicycloïde.

Soit en effet Tépicycloïde engendrée par le roulement d'une circonférence do rayon a sur une circonférence de rayon r. Si Ton appelle <p l'angle dont a tourné la roulette, on trouve aisé-

ment pour équation de Tépicycloïde, en posant n= -,

- = cos w© — ces [n -f- 1)9

an * \ /j

y n -+- t . «'.IN

•/ ^=^ sin fiQ — sin yn 4- Ij?.

a ji j \ JT

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 283

Il en résulte

iç ds^ = in-h i i^'i — ces o = 4(n -H 1 -sin^^ |

- f/5 = 2(71 -h 1 1 sin A

- = C — i(n -h l ) ces ;..

Si Ton compte les arcs à partir d'un point de rebroussement (o = 0), on trouve - == 4(n h- i) ({ ces l) •

Pour Vhypocycldidey il suffit de changer a en — a.

214. Rectification de la parabole. — Nous compterons Tare s de la parabole à partir du sommet, et nous exprimerons les deux coordonnées d'un point M de la courbe en fonction de Tangle x que fait avec ox la tangente au point M. Gomme Ton a, dans la parabole,

g = langa = |, on trouve immédiatement

1/ = p col a, X =i\^ COl'^a.

On en déduit

DifTérentions ^-5-; nous obtenons

2 ces « o?a - \

ce qui peut s'écrire, en multipliant les deux membres par ces a

2,2, ,1 , CCS a 1 j

— - . -5- «a H- -. — ax = cos aa . .. = a -.— ,- .— ï- a cos a

OU enRn

2 , , cos a d'ï.

— -I — ô— uot = d — î — -— — -, —

En intégrant, on trouve Tare de parabole

sans constante d'intégration parce que, pour « = g» ^^ ^ ^'^'^

j? = y=5=0. Le signe de ^ a été choisi de manière que Tare croisse lorsque « décroît.

On peut remarquer que le premier terme, ^rj^» représente la longueur de la portion de tangente comprise entre le point M et oy.