Spirale logarithmique. — Cette courbe a pour équation

p ^. ae'''^.

Son arc a pour longueur (Tome l^^ n° 392)

•- I v'dp^ -h- p'^dio^ = / ^

fi

a / e'"yi ~n?d

OU enfin

^\^. Lemniscate. — La rectification de la lemniscate dé-

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

pend des lonctions elliptiques. Mais la lon^

s'exprimer au moyeo des fonctions Ëulérien que la temniscate, lieu des poials M tels que

MF.MF' = OF* = a*,

a. pour équation en coordonnées polaires

p' := 2a'ci)s 2(1),

Elle a la forme ci-dessus ; ses tangentes i lea bissectrices des angltis des axes. L'arc A quart de la longueur totale, a donc pour long

L'iatt%rale précédente devient

-g- / ces

^df

et l'on peconnait {o" 155) espèce B (â' î) *l'visée pi niscalc aéra donc

Mats l'on a [n" 160)

L'expression précédente

SI», ntflice. — Les éqi a; = fl cos ç, on a

f/s' = dx'' ■+■ df/^

on en déduit imnit-diatemi

SIS. Loxodromie. — C sur la sphère et qui coup angle. Soit a le rayon de li tude d'un point. A l'aide trouve pour équation de la

sin 0(e

'applications OÉOMÉTRIQCBS 28T

On en déduit, a cause de e"* x c~"' = 1,

Cela poeé, l'arc inQniment petit MM' s'obtient ainsi

FlG. 2j = MP» -»- PM" = a'rffl» + a' sïn*©*/--'

d$=:m /rfe^ V «in^Bdç*

s=:a I /rfe' + sin'erfo'

Or, en difTérentiant l'équation (1), on trouve

d'où, en remplaçant les exponentieUes par leurs valeurs tintes des équations (1) et (2)

(rt =; ±: n sin 8 (fif.

L'arc décrit est proportionnel au changement de latitude.

Dans le cas où la toxodromie se confond avec un parallèle, la formule précédente devi>'Qt illusoire ; on à alors n = 0, e = 6^. La solution directe esi évidente*

Quadratures d*alres planes

219« Nous considérerons d*abord les aires planeB. Nous avons démontré dès le premier chapitre de cetouvrage-(L n^ 3) que l'aire d'une portion de courbe limitée à deux ordonnées (:r = a et ^ = p) et à 1 axe des x a pour expression

xjdx^

y étant l'ordonnée d'un point courant delà courbe. Cette règle sufnt dans la plupart des cas.

Supposons par exemple qu*il s'ajjisse de la parabole

L'aire d'un segment parabôl-que compris entre le sommet 0 et une perpendiculaire AIM' à Taxe est le double de Taire OMP, elle a pour valeur

2 1 ydx = 2)/2p i x^dx=^[2pay^

ou encore, en appplant b Tordonnée correspondante à l'abcisse a, -»• ab.

On voit que cette aire est les deux tiers du rectangle construit sur MM' et sur OP. Ce théorème avait déjà été énoncé par Arrhimède.

Le môme théorème subsiste d'ailleurs si les axes sont obliques. Prenons dans ce cas pour axes de coordonnées,

Pîsvp^-: f

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

faisant entre eux l'angle e^ la tangente oy au milieu de l'arc qui limite le segment parabolique et le diamètre ox qui passe

FiG. 26

par ce point. L'équation de la parabole sera

un élément d'aire (compris entre deux ordonnées, l'axe des x et la parabole), sera un parallélogramme et aura pour expression ye/xsin6. Le segment parabolique aura pour valeur

ydœ sin 0 = « a'h' sin 6 ;

il est encore les deux tiers du parallélogramme construit sur la corde du segment et sur la portion du diamètre comprise entre 0 et la corde. On peut aussi dire que Taire du segment parabolique est les deux tiers de Taire du triangle formé par la corde du segment et par les tangentes menées aux extréinités de la corde.

220. Ellipse. On peut de même évaluer Taire du segment elliptique. Soit Tellipse

ht — *•

Calcul iHFiRnisiHAL

GHAP1TR9 VII

On a ici à calculer

ydno = -

On trouve ainsi pour le segment, qui est le double de cette intégrale

ah arc sin x v^a* — a?*.

On aura Taire de la demi-ellipse en faisant j? = a, ce qui donne pour l'ellipse totale

T.ah.

Itltl» Ainsi qu'on peut le pressentir par l'exemple précédent, puisqu'on sait calculer Taire d'un segment elliptique tandis que Ton n'a pu rectifier Tare d'ellipse sans inventer de nouvelles fonctions, le problème des quadratures est plus simple que celui des mesures de longueurs d'arcs. Cette différence provient de ce que l'expression de Taire élémentaire est rationnelle, au lieu que celle de Télément d^arc contient un radical carré. C'est ainsi que Ton sait quarrer toutes les courbes unicursales (dont l'ellipse et la parabole font partie).

Nous en donnerons un dernier exemple.

Fia. 27

Soit à évaluer Taire de la boucle du foliiim de Descarfesy qui a pour équation

cc^ -h y^ — Saaij = 0.

APPLICATIONS GëOMëTRIQUES

En posant y = /./', on a les deux coordonnées en fonction d^un même paramètre.

3a t ^at^

i^ti' y — r-^î^'

La boucle s'obtient en faisant varier / de 0 à oo ; son aire aura donc pour valeur

ce qui peut s'écrire

-M[-l<r^:\:-[-lrH

11 iaut prendre le signe — , ce qui donne

"SSS* Il est essentiel de souligner l'incident qui vient de se

Fio. 2^

'K'^Mt

passer dans Texemple précédent où le changement de variables

était insufGsainroent justiGé et expliqué. Nous avions en effet, jusqu'à présent, admis que les aires étaient limitées à deux ordonnées et à Taxe ox. Pour évaluer une aire quelconque fermée, il faut la considérer comme différence de deux aires du type précédent, savoir : l'aire ABCFE et Taire ADCFE

A = aire ABCD = aire ABCFE — aire ADCFE

Si donc yi et y^ sont les ordonnées correspondantes à une même valeur de x (y^ > ^i) et si a, b sont les abscisses extrùmes, on aura

/Vidx— I Vi^

Revenant à Texemple précédent, on voit que sur le premier arc OMA, il faut faire varier / de oo à une certaine valeur ii\ sur le second arc, / varie de zéro à U. On a donc

A = 1 yîdx — I t/,dx ou

= / yda^ = — / ydx.

Pour simplifier la démonstration, nous avons supposé que la courbe n'était coupée qu'en deux points par les parallèles a oy\ s'il en était autrement, on pourrait toujours, comme au n° 183, par des parallèles à oy, découper l'aire à mesurer en parties, dans chacune desquelles la condition précédente serait réalisée.

223. On voit d'ailleurs, par l'exemple précédent, combien les changements de variables peuvent être avantageux ; nous avons pu, grâce à l'emploi de la variable i, remplacer une différence de deux intégrales par une intégrale unique.

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 293

Pour effectuer le changement de variables sans embarras, on peut considérer que Taire à évaluer est une intégrale de surface

If"''

étendue à toute Taire considérée ; si Ton désigne alors par ti et V les nouvelles coordonnées et par | J | le module du déterminant de x^ y par rapport h u ^i v^ la nouvelle expression de Taire sera

I J I ditdo.

224. Considérons par exemple les coordonnées polaires dont Tusage est si fréquent. Les formules de transformation

x = p cos w, y = P sîn w donnent immédiatement

ce qui confirme le résultat obtenu n^ 181.

Gomme première application, évaluons Taire totale de la courbe

p* = sin'to cos (I).

Cette courbe a deux boucles, une dans le premier quadrant et une dans le troisième, ces deux boucles ont même aire. Uaire totale aura donc pour expression

1t TZ TZ

\ j I pdtadp = / p^d( ^0 *^0 «-^0

A = 2 I I pdtudp = / ?^d(Ji = I sin ^ o) cos * wrfw

~2 *^U' ij~2 r(2; ~

-mm^'. ;t.

Or (n'» 147)

donc

Quadratiire des surfaces courbes

225. Pour évaluer les aires courbes, nous devons d'abord chercher Texpression de Télément de cette aîre. Supposons les trois coordonnées d'un point quelconque de la surfiico évaluées en fonction des deux paramètres u et v. L'élément i^?, correspondant au point où la normale fait avec oz Tangle y, a pour projection sur xoy, l'élément d'aire plane dœdy :

ces Y

Nous supposerons d'abord y aigu sur toute la surface à mesurer.

La valeur de cos 7 a été donnée au n^ 474 du tome I** ; en conservant les mêmes notations, on a