ICI
cos Y = --=
VA^ -h B^ 4- G*
D'autre part on a vu (n** 196) que
dxdy = I J I dudv.
et
|JI = |Cj =
Cya? <>,y îva? ^y bu i)v i>v au
APPLICATIONS GéOiMÉTRIQUES 293
L'élément d*aire a donc pour expression
iW= v/A« -+- B'^ -h C- diidv el l'aire totale
* 4- C^ f7wc/i\ (4)
on lèvera^ ici comme dans les cas analogues déjà considérés, les difflcultés de signes en découpant au besoin en plusieurs parties Taire à évaluer. Nous allons donner quelques exemples.
226. Fenêtres de Viviani. — Le problème consiste à évaluer Faire de la surface sphériqne qui subsiste lorsqu'on a enlevé d'un hémisphère les deux fenêtres que découpent deux cylindres tangents entre eux et tangents à la base de Thémisphère aux extrémités d'un môme diamètre (voir la fig. n° 185).
Nous pourrions appliquer la formule (4), mais nous arriverons plus rapidement au résultat en employant les coordonnées du n^ 183» et en reprenant le calcul directement. L'élément d'aire plane a pour expression en coordonnées polaires
Tangle y est l'angle du rayon de la sphère avec l'axe oz ;
z ces Y = îi .
On a donc à évaluer
p^pc/
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUEB
L'intégration par rapport à 0 s'effectue immédiatement. Mais rintégrale simple à laquelle on est conduit est une intégrale elliptique ; nous ne pousserons donc pas le calcul plus loin pour le moment.
2S8. Nous avons vu (tome l^^ n^ 477) que l'élément d'arc d'une courbe de la surface a pour expression
ds^ = Edu^ -h 2Fdudv 4- Gdv\
Il résulte des valeurs (10) données au même endroit pour £» F| G et de l'identité bien connue
que
q^ -+- r») (p'* -h q'^ H- r'^) — (p/>' -h qi H- rx^f (j>q' — qp'y -H {qr' — r^J* -h {rp' — i^r')»,
A» -h B* -+- C^ = EG — F*.
Par conséquent, si la surface est donnée par son ds*, on aura pour l'expression de l'aire
= 11 \^EG — F'dudo
Cette formule peut s'établir très simplement par des considérations géométriques.
Fie. 29
En effet, traçons sur la surface les courbes u = constante et r = constante ainsi que deux courbes infîniment voisines de
celles-là. f l'on peut parrallélog
MN.MQ
