Ce
carré et toi sur cette si
L'ne port
et l'on voi efTectuée.
Pour les
en remplELçai par « + - I
sonl égales même sur I etQP.
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
est toujours ramené à une intégrale simple ; car l'aire a pour expression
= 11 \/^{u)dudv == I (Ui — Do) v/?(w
v\ et v^ étant les valeurs extrOmes de v pour une valeur donnée à u»
Ainsi, supposons que la méridienne soit la cycloïde
X = a(ti — sin ii) y = a(l — cos u)
et que la surface de révolution soit engendrée par celte cycloïde tournant autour de sa base [oœ). Les coordonnées d'un point quelconque seront
X = œ = a{u — sin u)
Y =y cos V = a{i — cos u) cos v
Z = 3/ sin r = a({ — cos u) sin t?,
on en déduit immédiatement
(h^ = dX^
rfY» -h dZ^ = 2a\i — cosr u]du^ -h a^{i — costiydr
E = 2a\i — cos m) = 4a' sin'^ ^ ,
G = a\\ — cos u)2 = 4a* sin* ;^ ;
* 1 / sin' !j dudv.
Pour intégrer cette expression^ on remarque que
sin^ .7 = 0 sm ,y — sm -;j-;
m ta A
nous évaluerons la surFs de la cycloïde : « varier aura
230. Nous avons d totale d'uae surface en rayons de courbure priât Gauss a justifié rintrodi
On sait qu'on appelle de l'aDgle de contingei une sphère avec l'unili cette sphère menons les M'N' de la courbe donn ment petit si M et M' s< des deux tangentes et l'i
Etendons ces considér de surface limitt! parum MN une demi-normale parallèle à MN menée p et dans le nic^me senspt représentation sphériqu correspond ainsi un élén une courbe sphérique (ci face au point M la limite tendent vers zéro, Cherc formule (6), nous avons
rfS
APPLICATIONS flÉOMÉTBIQUES
et sur la sphère
rfS, = v'E'G' — F'Vw'rfr'.
Les coordonnées du point m peuvent évidemment être coosidérées comme dépendant de u et de v, c'est-à-dire que l'on peut supposer k' = h, v' = v. Il en résulte
Supposons que le réseau {u,v) sur la surface (S) soit celui des lignes de courbure ; c'est un réseau orthogonal, et l'on a
De plus les courbes (u), {v) sur la sphère ont à chaque instant leurs tangentes parallèles à celles des courbes (h), (v) de (S) {I. n" 507) ; on a donc aussi F'= 0, et le trièdre mobile attaché au point M sur la surface, trièdre formé par la normale el les tangentes principales, est, à chaque instant, homothéthique au trièdre mobile qui suit m sur la sphère. Il en résulte que, dans les formules (59) du n" 522 (lome 1"). les valeurs de », 3, -r, p. 1, r, pi, Çtr fi sont les mêmes pour la sphère et pour la surface. Or sur la surface, on a (n* 531)
RR' \fv i^u/i/ÉG
sur la sphère do rayon un, on aura de même
D'où, en divisant membre à membre.
1 vjii;'
comparons à la formule (8) dans laquelle il a fallu faire F = F'= 0. Nous trouvons
Ainsi ce que nous avons appelé la courbure de la surface au point M est précisément la courbure totale, et la formule (9) est une généralisation de la formule (7) relative aux courbes planes.
La formule précédente^ permet de mettre rélémenl d'une surface quelconque et par conséquent Texpression d'une aire courbe quelconque sous une forme élégante et souvent utile. On a en effet
si le point de la sphère est déterminé par ses coordonnées polaires 6 et (p,
dSi = sin ^Md^.
On a donc pour l'expression de Taire
s = r/RR. .
sin ^dodB. (10)
L'angle ô est l'angle de la normale avec oz, © mesure l'angle dièdre du plan mené par cette normale parallèlement à o: avec le plan zox. Nous sommes ainsi dégagés de toute considération relative à la sphère.
