Soient
les équations d'une droite ; celte droite engendrera une surlace si a, a, 6, p sont fonctions d'un seul paramètre /. Les équations (17) représenteront aussi la courbe section de la
312 CHAPITRE Vïl
surface par le plan z =rr constante, si Ton suppose qu'on y donne à z cette valeur constante.
L'aire de cette courbe a pour expression
I ydx = I [hz
pi [a!z H- a! dt,
les lettres accentuées désignant des dérivées. L'inlégrale précédente s'écrit
z^ I a'bdl -^ - / [a? -+- à^')dt -f- / pzVZ/,
ou
Aj*4- B:r -i-G.
Ainsi, rfûfw^ toute surface réglée , faire (Tune section plane est une fonction du second degré de la distance du plan de cette section à un plan fixe donné.
Parmi les volumes compris dans cet article, on peut faire entrer ceux qui sont renfermés entre deux plans parallèles réunis par des faces trapèzes ou des triangles.
240* Règle des trois niveaux. Soit une surface quelconque telle que sa section par un plan, parallèle à un plan fixe, ait une aire fonction du second degré de la distance au plan fixe. Nous allons évaluer le volume V compris enlrc deux plans parallèles au plan donnd ; soient B, B' les aires des bases situées dans ces plans, B'' Taire d une section équidistante des deux premières, h la hauteur du solide (distance des plans des bases). La règle des trois niveaux, due à Kepler, s'exprime par la formule
V = g (B 4- B' M- 4B"). (iB)
■ipnjn.^ ^
APPLICATIONS GKOMÉTRIQUES 313
Par hypothèse. Taire d*une section faite à la distance z est de la forme
az^ -f- 2>r + c et le volume V s'exprimera par l'intégrale
à condition de compter les ;: à partir d'une des bases, celle qui a pour aire B, par exemple. On a donc
„ ah^ bh^ , ,/a//« bh \
ou
V == g [2a¥ -h ibh H- 6c). (19)
Or, en faisant z = 0,puis ^ = ^ et ^ == ^, on trouve pour les aires
B"^2ji + Ç-Hc
B' = ah^ -^bh-hc.
Le second membre de Tégalité (18) a donc pour valeur
g 2a¥ H- Uh 4- Ce),
ce qui est bien Texpression (19).
Cette règle donne la plupart des solides élémentaires. Ainsi, dans le prisme ou dans le cylindre, B = B' = B"; la formule devient donc V = B/<. Dans la pyramide ou dans le cône
B == 0, B' = ?-'; donc V = ^\ etc. (Voir le Traité de géo-
métrie de Rouché et Gomberousse (vl^^ (536 et 637). Maïs oq voit d'après les n^^ précédents que la même règle donne les volumes de beaucoup d'autres solides, tels que ceux du second degré, et ceux limités latéralement par des surfaces réglées. Pour reprendre l'ellipsoïde cubé au n° 237, on pourra faire
B = 0, B' = 0, W = 'Kah, A = 2c,
ce qui donne bien pour le volume total
4^41. Considérons encore le volume compris entre le plan des naissances et les deux voûtes en arc de cloître semî circulaires d'un berceau coudé cylindrique. Dans le plan des naissances, le volume sera limité par un carré ABCD ; les deux cylindres égaux se coupent suivant deux ellipses projetés sur la figure suivant BD et AC.
Fio. 32
Une section faite à la distance z du plan des naissances sera un carré MNPQ ayant pour aire MN'^ ; nous allons évaluer MN. Soit 0 le centre des deux ellipses.
