MN = ON V

Or, l'ellipse projetée suivant BD a pour demi axes la montée R et OD = Pi v/2, l'équation de l'ellipse. dans son plan est

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 31 j

d'où

La section B" faite à mi-hauleur ( ^sr = 7)) a pour aire

La section B faite dans le plan des puissances [z = 0) est

B = 4R^ enfin, pour 5 = R, on a

La règle des trois niveaux donne donc

llétliodes d^approximation

ia. Les exemples que nous avons choisis jusqu'à présent ont pu être conduits jusqu'au bout et ont abouti, soit à des iormules calculables numériquement, soit à des fonctions dont on possède des tables numériques. Il n'en est pas toujours ainsi et l'on obtient souvent une intégrale définie dont l'intégrale indéfinie n'existe pas et dont les tables n'ont pas été calculées. Dans ce cas, on est obligé d'employer des méthodes d'approximation que nous allons faire connaître.

243- Un premier procédé est celui du développement en «érie. C*est ainsi qu'au n® 93 nous avons indiqué la possibilité 'de calculer la valeur de l'intégrale elliptique de première espèce

do \ \ — A'-^sin-cp

pour de petites valeui point et, pour donne par exemple commen de faible excentricilé

Soit

l'iSquation de l'ellipse, La longueur d'un a

la formule devient

ou, en développant If (1 — e' sin'o) ^ -^ 1 —

Pour avoir la longi de zi'TO il .,', or fn' 78

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

On aura donc, en multipliant par 4 pour ealiôre

244. Cette formule, dans laquelle on devra p moins de termes suivant la grandeur de e, peut par une autre plus simple lorsqu'on peut néglige) de e supérieures à la sixième.

Remarquons en eiïel que l'on a

ft = fl(| - e'}' = a^l - 2 e' - g e* - ^ d'où

En comparant cette dernière égalité à (20), oi diatement

aux termee en e' près.

On trouverait de m£me, par un développei l'arc d'hyperbole.

Tout ce qui priïcède n'est d'ailleurs qu'une théorème établi d" 239, tome l«^

345. Les méthodes qu'il nous reste à laire toutes fondées sur la considération des aires, C

peut être calcul<!e d'avao linalement

RemarqaoDS immédiate] analogue si tes ordonnées, ai datent suivant toute autre consisterait à poser

Le calcul des coefficien marques suivantes : suppc c{y^ = y,= ...=yn=c). l

la formule (25)

1 = (ft - a)c (.

donc

Supposons maintenant q placée par sa symétrique p l = n- L'aire restera la mém

remplacées par leurs symi ainsi de suite. En égalante formule (25), on trouve

Aoî/o -^ A.yi -•- — -•- AnJ/n

et, comme cette égalité do c'est-à-dire quelles que soiei

les coeificients équidistants i

APrUCATIONS QÂOMÉTBIQUeS ;

Voici quelques valeurs :

pour n = 1 A, = A,= "2- , po»ipn = 2 A„=A,--=-g-, A, = |, pour n ^ 3 A, =; Aj = -jj- , A, = A, = -g- ,

pour» =4 A.= A.= ^, A, = A.= 1?, A.= ^,

p«ur» = 5 A.= A,= jj^, A, = A, = j,, A, = A.= n

%48. Le cas de n = 2 est à signaler spécialement ; on a i elTel-dana ce cas

et, comme celte formule donne la valeur exacte si ^{x) est < polyadine de deuxième degré, on retrouve, comme ce devait être, la formule que nous avons signalée (n" 239) soi le nom de règle des trois niveaux.

Simpson, en appliquant cette formule à chaque groupe i trois ordonnées successives, a donné une autre formule d'a| proximation sur laquelle nous n'insisterons pas (Voir Trai de géométrie deRouché et de Gomberousse, l'édition p. 3S7

949. Il ne faudrait pas croire d'ailleurs qull y faille toi jours préférer la méthode de Cotes à celle des trapèzes. So par exemple

Employons les trois ordonnées correspondant aux valeui 1 = 0, œ =: -r, X = 2t., savoir yg ^ 3, y,^^i, j/i = 3. La nii thode des trapèze donnera

valeur exacte.

CucDL mnntfsiHAL £1

CHAPITRB VU

La méthode de Cotes appliquée avec le m^me DOmbre d'ordonnées (règle des trois niveaux] donne

valeur qui dîtlère de la valeur exacte de-J^. Il faudra donc

procéder avec quelque prudence et, par exemple, essayer de se rendre compte d'avance de la marche de la fonction y entre a et i ; si la courbe représentative serpente autour de la ligae polygonale fournie par des trapèzes, il n'y aura pas grande raison de préférer celle de Cotes pour laquelle les coefGcienls A^ sont plus compliquée.

Si la fonction y est développable en série de Maclaurin, il sera possible d'avoir une valeur approchée de l'erreur commise dans la méthode de Cotes, En efîet soit

j/ = y, + OT/, -4-^y;+ ...

A = / ydx = I y^d-e -h / xy-^dj: + jtj / "^dx + ... t/O *^0 «-'0 «-^ 0

Comme la méthode de Cotes donne la valeur exacte dans le cas de n + I ordonnées, si y un est poljrnâme de degré n, lei intégrales qui figurent dans la formule précédente seront données exactement par la formule (25) et l'écart entre A et sa valeur approchée ne commencera à se produire qu'à partir ie

l'intégrale -ï^ / af'dx exclusivement. Il y aura ainsi une série

l'intégrale -^ / a

d'erreurs commises sur yj -

termes suivants, erreurs qui pourront être calculées d'avancr si l'on fait abstraction des facteurs y,[» + '), y^f» + *).