Quoi qu'il en soit de ces considérations, voidqael
APPLICATIONS GÂOMéTRlQUES 323
ques exemples que le lecteur pourra calculer et qui lui donneroat une idée comparative des deux méthodes. L'intégrale
= iog2
a pour valeur 0,693147180S6. La méthode des trapèzes avec onze ordonnées donne pour valeur approchée 0,69377 ; celle de Cotes avec onze ordonnées 0»69314733. L'intégrale
a pour valeur 0,2721982. La méthode des trapèzes avec onze ordonnées donne 0^2712837 ; celle de Cotes avec 6 ordonnées 0,2722091.
Enfin, si Ton pose
y = 2a?« — 30»' -h iKx^ — 300x» -+- 720a?« — COo? 4- 100,
rintégrale / ydx a pour valeur 3105,9 ; la méthode des
trapèzes, avec quatre ordonnées donne 3100,5 et la méthode de Cotes avec le même nombre d*ordonnées 3102. La même fonction y intégrée de zéro à 4 a pour valeur 3321,1 ; en employant cinq ordonnées la méthode des trapèzes fournit l'approximation 3354 et celle de Cotes 3333,3.
En résumé, dans le calcul de log 2, avec onze ordonnées, la méthode des trapèzes ne donne que tiois chiffres exacts, celle de Cotes en donne six. Dans le deuxième exemple, la méthode des trapèzes, avec onze ordonnées ne donne que deux chiffres exacts, celle de Cotes, avec six ordonnées, en donne sensible ment cinq. Par contre, dans les deux derniers exemples, avec
CHAPITBB VII
les mômes nombres d'ordonnées, les deux méthodes donnent le même nombre de chiffres exacts avec un léger avantage pour celle de Cotes.
Rappelons enfin l'exemple du n^ précédent où la méthode des trapèzes donnait une valeur exacte tandis que celle de Cotes» avec le môme nombre d'ordonnées, n'arrivait qu'à une erreur
relative de 5 .
251. Méthode de Gauss. — On doit à Gauss une méthode d'interpolation excessivement originale où se retrouve h marque de ce puissant génie. L'idée simple qui sert de base à la méthode est qu'il est inutile de s'astreindre à une interpolation par intervalles égaux, et qu il est préférable de choi>ir les abscisses, de manière que la parabole interpolatrice suive, d'aussi près que possible, la courbe y = f(x) dont on a à effectuer la quadrature (n^ 244). Or il est pos&ible de choisir les n abscisses de manière que, quelle que soit la courbe y = f{x)y elle ait, avec la parabole interpolatrice, (au moias avec une approximation que nous indiquerons) 2 n — 1 points communs entre 0 et 1 ; il suffit, pour cela de prendre pour abscisses les racines du polynôme Xn de Legendre, c'est-à-dire les racines de l'équation (*)
dx
Nous allons le démontrer.
A cet effet, supposons /{x) développée en série de Maclaurin
f(x) = a^^ a^x -h a,^* -h ... -+- a^<x^ -i- ...+ Oj».. ,07'" -* -h ... (27
Posons
F(jr) =: (a? — ai) (a? — a,) ... {ce — a„),
(^ Au n* 431, le polynAme X, s'est présenté, à un facteur indépendant de X pris, sons la forme de la dérivée ni*»* de (a:* — 1)\ On passe de cette forme, à celle que nous adoptons ici par la substiiutioD ic = 2j/ — 1.
H^H^Rr^"
APPUCATIONS GEOMETRIQUES 32a
et
Soit enfin
.rfa^ — (^ — °^i) (^ — "'a) - (-^ — °^») t, + («1 — «î) (*i — *s) — («1 — O
te polynôme interpolateur de Lagrange. L'erreur commise en remplaçant (fx) par ^^o?) est
•si /(a:) était un polynôme de degré n — I , il serait identique à 4^.;x), et celte erreur serait nulle. Gauss détermine F(^) de manière que Ton ait encore
si f(x) est un polynôme de degré 2n — i. Dans ce cas, si Ton divise f{x) par F(^) et si l'on appelle Q{œ) et R(x) le quotient et le reste, on aura
Vi = n^i) = R(«i) ;
comme R(t) est de degré n — 1 ,
-et Terreur se réduit à
= / Q{x)F{x)djff.
Soit
0{^) = \ -H ^i-» -H ... 4- ^i^' -h ... 4- X^^jO?"-* ;
et cette < que soit }
Les n <
M élan ù un fa cil au lieu d cette déri
APPLICATIONS OÂOUÂTRIQI'ES 327
La formule d'intégration par parties (n" 2G) s'écrit, eayremplaçant n par k.
Or, si k est inférieur ou égal à n, les dérivées de v, v', v* ... t/-*-') s'annulent pour x = 0 et pour (c = i ; si donc, dans la formule (29), on fait p — i, comme oa aura aussi ud- + '1 s 0, on aura
et cette égalité subsistera pour k = », i =: 0, 1, qui démontre le théorème, puisqu'on a
L'équation »<"> = 0, a, en vertu du théorème de Bolle, ses n racines réelles, distinctes et comprises entre zéro cl tm. Ainsi la règle de Cause donne, au moyen de ;i ordonnées, la valeur exacte de l'intégrale considérée dans tous les cas uù la fonction /(x) est un polynôme de degré au plus égal à 2n — 1 , Supposons enBo que f{x) soit égale à la série {21) et soit f^{x) le polynôme formé par ses 2n premiers termes. Nous aurons
et, si la série est sulOsammenl convergente, on pourra, sans erreur importante, négliger R et remplacer /(x) par /,{x). On aura alors
e; étant très petit. La méthode de Gauss donnerait exactement
f^[cc)dx
si l'on avait e^ = 0, pour i = 0, t, 2 ... 2n — i. On voit donc qu'on évalue à peu près exactement Taire limitée par la courbe
y = fi{^)
qui a 2n — 1 points très voisins de la courbe
Les abscisses étant fixées, la formule (25) subsiste ainsi que nous l'avons fait observer en l'écrivant (n<>245). Voici quelques valeurs pour les abscisses et les coefticients correspondants :
5 — v'ÎS
Aa — Al — ô
vT3
It)
A« = A;. =Tr,
An A« 1
Aj — Aj —
Aa = A. =
APPLICATIONS GÉOM^RIQUES 3^9
352. Voici deux applications. Avec cinq ordonnées, l'on trouve :
rf3;= 0,27210801,
lea calculs étant faits avec des tables de logarithmes à huit décimales.
La première de ces deux valeurs coïncide avec la valeur exacte pour les huit premiers chiffres; la deuxième en dilTcrc à partir du septième.
353. Autres méthodes. D'autres procédés ont été employas pour évaluer des aires avec une certuine approximation .VI. L. Lévy (') a donné une méthode qui lait intervenir la considération de la facililf! du calcul. La valeur de la fonction so calcule eu effet sans peine, dans la plupart des cas, pour les valeurs .c = Oet x=i. M. L. Lévy s'est proposé d'introduire toujours ces valeurs, les autres étant obtenues d'après le principe de Gauss, c'est-à-dire de manière à assurer le maximum de coïncidences avec le minimum d'ordonnées. Nous nous bornerons à énoncer le résoltat : il faut, pour obtenir 2n — I coïncidences avec les abscisses .v ^ 0, x = i , employer los ■racines de l'équation :
M -Ht)
l'J Lneien Lévy. — SulUtin des Sooîètét «araniet, ISSO.
Cette équation peut encore s'écrire :
Si on lui adjoint les ordonnées Gxes ^ =s 0, â; = i, les n + 1 ordonnées à employer sont les racines de Téquation
doc^
Voici quelques résultats. Si N désigne le nombre des ordonnées, on trouve pour N = 3 la règle des trois niveaux;
pour N = 4
7 — v^âî
Aj — Aj — j-^
pour N = 5 ( ttg = ^
Ai — A, — jgjj
£n se servant de ces dernières abscisses; dont deux seulement sont irrationnelles, on trouve^ pour la valeur approchée de log 2,
Valeur approchée de
exacte jusqu*au sixième chillre.
Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet; le lecteur qu'il intéresse lira avec fruit un important Mémoire de M. Radau (Journal de rEcole Polytechnique y 1880), et b Thèse de M. Pujet (1868).
