h tr
dx
dx =
SLIl /)
(1 -^ jr) \/x
Oip < 1>
œ sin mx
l- cîo? =itô
— ma
— oc
C?^^ = log ù)
— iùX
dx = log u)
sin 2 ax
dx= ■;
rfj; == —
B„ «2» (B„ nombre de Beroouîlli)
(■MM!r:^ rf^ ^ - 2 '"-!-* B, .^«
in vix , i / i ^ o\
i:rn ^^ =2 l^ïïï^i " m -^ ^;
sin
OD
sin 7nx . i
ao? = K — —
dx
sin flr.r aar tc e« — e'"*' / ^^ j,\
sinhi rr^^ "" 2 e*» — c-^ ^^ "^ ^
oc
cos ao? xdx TT c« -f- «"~"
sin 6.1' { -^ X* 2 e'' — e
zzr, {a<by
oc
sin a.:^ dx
cos èo? a? (i H- a:*) 2 e* -i- e
cos «a* dx
cos 6./; 1 H- ,T^ 2 tf* H- e
HKSUMË DES PRINCI
Si fl > 6, soit a = 2 A fi + c. A"
/ sin ax dx w e'
I sin bx 1 -+■ a?* 2 ~ *- 0
/ain ao.' f/a sin fij; 1 +
/rf,r J-— ;. 2x' ■ x\a%x I — ,^'
/dx xf ~2x''-\ œ \oax I — j:
OogI
(S. élonl le coelficienl
BécX
;iog tang s;
RÉSUMA DES rRINCIPALES 1
a;"e~' cos xdx ^= -— v-.
a)"e ~ ' sin xtlx = ■ !
r «'-:;ï'rf».=v'|"{i-, r' f
j cos yVi/ = I ain yVj
/ (1 + X) log ..;
/C08 (m log ,^;) — c log..'
" cos (iH sin w) I " sin (m sin u) log1
sin (>n log a;) — sin (h log .r) ,
' rfj: =; Ti arc :
f cos.-e
cos ma? , ira»"
1 — 2a cos 0? -H a* 1 — a* *
kIC
iï
v*}? sin X dx .1. t ■ \
1 — 2a cos 0? -h a* a ® ^ ^
I a cos* .r -h 6 sin* a?
2 cos -:j
Je
fti:
/sîn 07 tang *^ 1 — 2a cos X -r a' !>+-«'
ir
/ Iog (1 — 2a cos »nj: + a') , , .. ,„x / ^i
I — ^-^^ , ^ -ï- — ^ c?a? = ir Iog (1 — ae '") (« < »
rf.r
i — oô—'
(1 4- a?^j (l -h 2a cos ma; 4- a«) 2 (1 — a*) i 4- «« '"'
œ sîn nvrdr
( l 4- a:«) (1 4- 2a cos ?nx 4- a*) 2 (a 4- c'")*
»i __ i>— wi
2 e'" -H 2 eus a + c"'"'
gÉTj: g — fiT
cos mxdx =
sin a
C" 4- 2 cos a 4- e
Dans ces de
RÉSUMÉ HES PRINCIPALES FOBMULI
Reclincadon d'urcs de courbe
a<l8. Cycloïde (Tome i" a" 286) : « =
ou s -
Longueur d'une branche complète : P =
Epicycloïde (II n° 212) : s = in (" -t- lUl Longueur d'une branche ; l = --i^~Z' lîypocycloïde (II n" 212) : s = 4a(i - ^) (l
Parabole ly' = iax) : a =a ( — I
(nvec lang a :
s = s/ax -hx^ -f- a log (v'.v ■+- ^/a + œ) ■
Spirale logarithmique : (f = ae""") s = — Lemniscate p' = 2a" cos 2<a (P (ongueur totalt
Hi'licc : (x^ a cos o, y = a sin », 3 = maç) Loxodromïe : (sin (l(e"? -\-e~~ "*) = 2;
Chalnellc : y —
Tractrice ; x -+- ^^a- — y* = a log
ou
L;|v/«.yi+y=o
Spirale d'Archimède (p = aw) :
« = a log •'
= ^- V^r-+- to2 H- « log (u) + v/i -^ w*) -4- C
Cardioïde [p == a(l -h cos to)] :
« = 4 a sin ^ + C.
Courbe à m boucles (p'« r= 2»»- ^a"» cos ww) : P =
'ta
Hypocycloïde à quatre rebroassements ou astéroïde
iJ^
fC
Cissoïde (2/* = 2^^,) :
-30.^.^^3 1 vW-^^^:^^
v/8a — 3j?4- V^fl — 3x
Serret, dans le XXXV« Cahier du Journal de TEcole Polytechnique, a fait connaître toutes les courbes dont Tare s'exprime par un arc de cercle et dont les coordonnées rectilignes sont des fondions rationnelles de la tangente trigono-
Aires plane$$
»69. Parabole [tf = 2p.r) : Segment 8 = 3 (2/mi)- .
Ellipse ^J -H ^!. = 1 , Segment = ab arc sin | — - *hV-^^.
Aire totale = tmL.
Boucle du folium {œ^ -i- y' — 3aa?2/ = 0). S = -5- .
Courbe a;*" + * H- y^"*^ * = (2n h- 1) aa?"^'». S = (71 -+- 2)«--
Courbe 0* = sin'w ces w .
ra«
\ Si n est pair, S = -^ ;
Courbe â?*« + y^'* = «* (^3/)""* j ;^a2
/ Si n est impair, S = -^ ;
Lemniscate S = a-.
Segment parabolique limité par une corde perpendiculaire à Taxe (coordonnées d'une
extrémité de la corde ,r,y) S = gay,
Chaînette S = as,
Cycloïde S = 3rfl»,
Quadratrice (y = x col'--\ S = ra^ log -•
FiG. 3a
Ellipse ayant pour équation
Ax^ -+- 2Uxy -h Cf/^ + 2\\v 4- 2Eî/ 4- F = 0. On pose
A = — (AE^ -h BD^ — 2BDE H- FB* — ACF),
370 CHAPiTRB VIU
Aire engendrée par la cycloïde en tournant autour de la tangente en un point de rebroussement
Aire engendrée par la cycloïde tournant autour de sa tangente au sommet
Aire engendrée par la cycloïde tournant autour de sa normale au sommet
S = 8:ta'
Ellipsoïde de révolution aplati {a > b)
S = 2ira2 -f- -F--===| log
soit
on trouve
S = 27Ta^ -+- Tca^ ^ ^ log . .
Ellipsoïde de révolution allongé
soit
S = 2-1:0^ H — arc CCS - .
e^ = 1 — .-.- . b = arc sm e -f- 2r6*.
Tore (rayon du cercle générateur = a) S = 47:^06.
Surface dont la méridienne est
une astéroïde S = i- ^ra*.
une chaînette S = nab.
