RÉSUMÉ DEB PRINCIPALES
(en appelant b l'ordoiinée du somme:
le Long du parallèle limite)
une cardioïde toumaal autour de sou .
Aire d'un hélicoïde : portion compi de rayons r ot r, et deux plans faisa L'équation de la courbe plane général It = 0, on a l'aire d'une tranche de sw
«10. Prisme et cylindre V =
Pyramide et cône V -
Sphère V =
Segment sphérique V -
Ellipsoïde V ^
Règle (les trois niveaux s'appliqua par des surfaces latérales ri5g1ét!s et d B' désigne l'aire de la section équidist
Tas de cailloux (hauteur h, dimena l'autre a', b')
Segment d'ellipsoïde compris entre deux plans parallèles au plan zoy ; on appelle a\ b' les demi-diamètres conjugués parallèles à ces plans, 0 leur angle, c' le diamètre conjugué des premiers, a son angle avec le plan zoy
Tore engendré par un cercle de rayon a
Volume d*un segment de paraboloïde elliptique, compris entre le sommet et un plan perpendiculaire à l'axe
V = it^' v^.
Volume compris entre le plan des xy^ le cylindre x^ -H y* = r^ et le cylindre parabolique az = 2y*
itr*
Volume compris entre une sphère de rayon R et un cône droit ayant pour base un grand cercle et pour hauteur mil
Volumes de révolution : la méridienne est
une astérbïde, V = fL T.a*
une chainelte (voir n° 27(1 pour la notation) V = ^ r.a^b
un limaçon de Pascal V = w x6 (a* + b%
une cardioïde V == - r.a}
RliSlTME DRS PRINCIPALES 1
une cycloïde (l'axe iltant la tangente
sommet une cycloïde (l'axe étant la base de la
cloïde)
Volume engendré par le segment p
bolîque abc tournant autour àe ac
autour de bc
autour de bl
autour de al
Volume de la surface
Volume de la surface a;' + y^ -§- 3* ;
Volume engendré par une droite de s'appuie sur deux droites dont l'angle
' tang' <
Volume limité par la surface dont I la somme des inverses de leurs dista d'un tétraèdre régulier soit nulle. (Equ
Centres de graiilé
2>7\, Chaînette (soit AN la normale à rextrémilé de Tare, S le sommet, SN Taxe, G le centre de gravité)
SG = GX
FiG. 37
Cycloïde
Fie. 38
Arc de cercle d'angle 26, le rayon du cercle étant a : distance au centre OG = aA— ,
Secleur circulaire OG = ô « ^t— •
Zone : le centre de gravité est au milieu de la hauteur Tranche sphérique ayant h pour hauteur et a et 6 pour rayons des bases. Soit z la distance au centre
lh(a^
Hémisphère
RËSUMt MIS PRINaPALBS FORMULES 37j
Cloioide. — Celte courbe a élé renconlrée par Fresnel dans l'élude de la diiTractiou ; elle a pour équations
a i cos » , a / sin o ,
el l'on voit que <f est l'angle de la tangente en un point avec l'axe des x. Son arc a pour valeurs "= a v'^ ï ^^ rayon de courbure en un point p = — , Les coordonni^es du centre de gravité Gonl
'5 ^ a; — p sin ç
" = y — p (i — ces o)
Moments d'Inertie (*)
372. Dans les formules qui suivent, le moment d'inertie est désigné par la lettre I. Sauf avis contraire, pour les surfaces (le révolution, le moment d'inertie est toujours pris par rapport à l'axe.
Poutre droite & section rectangulaire par rapport à son axe longitudinal
I = * (a' + *') abc Sphère par rapport à un do ses diamètres
Tore
(") Un graDd nombre des résuUala qui figurent dans ce n' sont empruntée & J'ouvroge de H. Jean Résal sur les Ponts Uélalliques (Encyclopédie des Travaux Publics, fondée par H. Leclialas).
v-i-r-ir
Moment d*inertie d'un rectangle ayant pour côtés Oy b, par rapport à la perpendiculaire au milieu du côté b
l^al^
Même rectangle avec un évidement rectangulaire et conceiiirique ayant pour côtés c parallèle h a qï d parallèle à b
I = ^ (a6- - cd')
Losange par rapport à la diagonale a, les longueurs des diagonales étant a et b^
Polygone régulier de n côtés et de rayon R
Double T
FiG. 39
Moment par rapport kox I^^ = -^^^ {ah^
\ ma
Moment par rapport à oy \^r=— I a' (6
crf»)
Cercle plein, par rapport à un diamètre
Couronne circulaire
Ellipse pleine, par rapport à son axe 2a ^
On rencontre en mécanique, et dans l'étude de l'électricilé ou du magnétisme, des fonctions qui jouent un rôle très important. Pour faciliter Tétude de ces fonctions, nous établirons d'abord deux formules fondamentales.
Transforinalion dMntégrales de volume
en Intég;rales de surrace
Formule d*Oslrogradsky
ST3« Nous allons démontrer la formule
= S(P ces a -+. Q cos p -h R ces ^{)d^.
Dans cette formule, l'intégrale triple est supposée étendue à un volume V fermé par une surface (S) ; l'intégrale double s'étend à cette surface, a, p, y sont les angles que fait respectivement avec ox^oy,oz la demi-normale extérieure à la surface (S). Les fonctions F, Q, R sont des fonctions d'^, y, z continues sur (S) ; elles sont continues ainsi que leurs dérivées dans tout le volume Y.
Nous supposerons d'abord que la surface (S) soit convexe. Considérons Tintégrale triple
Intégrons d'abord par rapport à œ, depuis a-, jusqu'à jl\, r, et x^ étant les abscisses des points où une parallèle à ox reacontre la surface (S) ; nous obtenons pour valeur de Fintégrale
S- / / [P(^,.y,z)^P(x,,y,z)]dyd:s^. (2)
Ç Mais, au point Xi, y, jy on a (n* 203 form. 27)
r dydz =• — dv ÙQ6 0L,
l et au point ir^, y, z
l dydz = de cos a.
i L'intégrale (2) peut donc s'écrire
SP cos a c?<j,
L'intégration s 'étendant à toute la surface (S), On démontrerait de môme que les deux termes suivants dans l'intégrale triple (1) sont respectivement égaux aux deux derniers termes
du second membre.
Si la surface (S) n'est pas convexe, on opérera comme aa n^ 207 ; la formule (1) s'applique donc à tous les cas.
Formule de Green
ST4« Dans la formule (1) d'Ostrogradsky, poBOBS
et introduisons le paramètre différentiel de Lamc^ (In° 111)
nous obtenons la formule
Vl^ydccdijcls
= s ( — ces 31 -4- -— cos a -+- — C08 y] d^
Une xiouvelle notation permet de simplifier récriture de cette importante formule. Appelons dérivée de la fonction Y au point tA{x, t/j z) dans la direction MN, la limite du rapport
M'(.^', l/, x) étant un point infîniment voisin de M sur MN, du
dV c6té positif. Posons mw = dn : cette dérivée s'écrira ^. Or on
a évidemment
ffy ^y dx bV dv i^y dz ^v oy ^ ov
-y-=— --= — \- ' — yi-i -j-= — cosa-h-- ces p -h r~ ces v,
f'n ô.r dn (sy dn ^z dn ^x ?>// ^ Xiz *^
ôV ^U
ôV
la iormule (3) s'écrit donc, si MX est la direction de la deminormale extérieure,
J J J U le
- fff-
T- :: Ht- r~ ) dxdyd
Ydxdydz = SU^^ ^œ (4)
Telle est la formule qu*on Jésigae souvenl sous le nom de formule de Greeii ; mais on désigne aussi sous ce nom celle qu'on en déduit en échangeant les lettres U et V et en reIranchant l'équation obtenue de la précédente
A vrai dire, la. formule de Green s'applique de préiércnce à la normale intérieure ; il faut donc, pour l'obtenir, changer les signes du premier membre et écrire
Elle s'applique à tous les volumes possibles, limités ou non par plusieurs surfaces distinctes. Par exemple, si le volume est compris entre deux sphères concentriques, pour la sphère extérieure la normale sera comptée vers le centre ; pour l'autre sphère, elle sera comptée en sens contraire.
Pour établir la formule de Green, nous avons supposé les fonctions U, V continues, et bien déterminées ainsi que leurs dérivées dans tout le champ de l'intégration. Nous n'examinerons pas comment il faut modifier la formule dans le cas contraire ; mais l'exemple que nous allons traiter suffira à fair^ comprendre comment on doit opérer si Ton rencontre des discontinuités.
275. Considérons deux fonctions U et V telles que, dans tout le champ de l'intégration, on ait
A» U = 0 et Aï V = 0 ;
la formule (5) deviendra
FORMULE DE GREEM. — POTËSTIEL
Soil d'abord U = 1, cette égdlllé se réduit à
Soit maintenant
Si le point a, b, c ne fait pas parlie du champ de l'intégratioD, U ne deviendra pas intinie, on a d'ailleurs identiquement
Donc, pour toute fonction V telle que A, V ;= 0, on aura par la formule (6)
Si le point A (a, b, c) fait partie du volume, on commencera par l'entourer d'une sphère S de rayon très petit dont il soit le centre; soit i' l'ensembje des autres surfaces qui limitent le volume. L'équation (6) s'écrit
et elle s'applique à condition d'exclure du champ de l'inlégration le volume intérieur à la sphère s et de prendre les dérivi^es sur la normale extérieure à celle sphère. En changeant le sens de celte dernière normale, on devra écrire
Calculons le second membre ; comme r est constant sur h sphère, il se réduit, à cause de (7), à
- S, V '^r ch
(hi
Mais
^r \ dr 1
dn r^ dn r^ ^ ' '
et« sur la sphère
C08 (r, n) = ï ; l'intégrale précédente s'écrit donc
Or, comme on peut prendre le rayon de la sphère aussi petit que Ton veut, V est inrmiment voisin de sa valeur V (a, b, c) au point A, et l'intégrale peut s'écrire
— 47rV (fl, h, c).
L'on a donc enfin la formule fotidamenlale
Elle fait connaître la valeur de la fonction V en un point quelconque du volume en fonction de ses valeurs et de cAk^
de -r- supposées connues sur les surfaces limites. Bien entendu, il faut que V satisfasse a Téquation
270* On peut résoudre le même problème si la fonction ' '^'^*'sfait à réquation précédente en dehors de la surface l'.'"
faut alors supposer que VR, R^ ^- , R* ^ , R' -r; onl des modules ioférieurs à un nombre fixe M lorsque R croit h l'inliai. Le point A est compris entre la surface i' et une sphère z <le rayon R suffisamment grand. En isolant le point A par une sphère de rayon infiniment petit, on voit, comme précédemment, que
t.V(,,6,c) = S IV '
La première de ces intégrales est nulle en vertu des hypothèses faites ; car elle peut s'écrire
- Ifind vers l'unité ; V tond vers zéro ainsi que les trois produits n'" ,Bf' ,R^'(. 11 reste donc ax dij dz
t liV
comme dans le premier cas ; seulement ici les dérivées sont prises sur la normale exlérieure.
Ou démontrerait d'une manière analogue que, si U est discontinue on un point (a, b, c) et si l'on désigne encore par V {a, b, c) la valeur de \ en ce point, la formule (5) de Green doit s'écrire
(UA,V — Yi,U)iix(fj<(i + 4=V{ii,J,c) = 0. (tO)
l>éfliiltlons
'. Soit F une force appliquée au point A (a, b, c); soient X, Y, Z les composantes de cette force suivant trois axes de coordonnées rectangulaires. On sait qu*oa appelle travail élémentaire de la force pour un déplaceoieat da^ db, de du point A Texpression
yida 4- ^db 4- ïdc ;
mais cette expression n'est pas en général une diiTéreotiel/é exacte et nous avons vu (n^ 105) les conditions nécessaires pour qu'elle le soit. Supposons ces conditions réalisées d soit V la fonction dont l'expression précédente est la différentielle
d\ ^ Xda -f- \db 4- Zdc ;
on aura alors
ÔC
Si, au lieu d'une force, on a un système de forces appliquées au point A, et si le travail élémentaire est encore use différentielle exacte, les projections de la résultante sur les axes seront encore données par les formules (11).
On dit alors qu'il existe une fonction des forces ou encore que les forces ont un potentiel (*) V.
Donnons un exemple emprunté à l'attraction Newlonienne ou, ce qui revient au mfime, à l'électricité.
(•) Quelques auteurs distinguent entre les mots potentiel et fonctioi\ potentielle ; nous n'uvons pas cru devoir les suivre dans celte voit?* Glausius ap|ielle fonction potentielle, la fonclion de force lorsqu'au point A se trouve une masse égale à Tunité de la matière agissante.
FOBUU[.E DB GREBN. — POTENTIEL 38j
278. Soient A et M deux points, ayant pour coordonnées respectivement a, b, cei x, y, z; soit r leur distance
r = v/(x - a)» -f- (î, - bf + [z - c)'. {12)
Di'signons par m et m' deux coeffîcienU attachés aux points A et M (masses) ; la force attractive ou répulsive qui s'exerce entre A et M a pour expression
/ étant une constante numérique positive. Pour pouvoir préciser le tangage, nous supposerons qu'il s'agisse AeValtraction Newtonienne et nous donnerons au point A la masse I (»i= 1) ; l'attraction exercée sur le point A a donc pour «expression
'elle est dirigée de A vers M.
Ses composantes suivant tes trois axes seront
Y = Ap ï^ ) (14)
On aura évidemment
Xrfa + YrfS + Zrfc = rf. ^
«t par suite le potentiel sera
Plus généralement, soit
CiLcn nrunifiaui. 25
dS6
TexpressioD de la force dirigée vers le point A. Les eomposantés seront
fr)
et si Ton pose
on aura encore
V dV ^ — da'
.. dV
^ db'
7 dS
^ de-
Si Ton a un système de points agissants sur le point A, Tl faudra composer toutes les forces telles que (13) ; leur résultante aura pour projections sur les trois axes
Le potentiel aura pour expression
ou, plus généralement,
V = 2 /? (^0 dr,
et Ton aura encore
^•^-;>a' "'^sz;' "'-^
(Ib-)
Polcnliels-voliimes
270* Supposons maintenant que le système attirant soit une masse continue ; on doit la considérer comme composée
FORMULE DU GRElîX. — ■ POTENTIEL 3^7
d'une inliailé de masses inliaimont petites. Soit r/u un volume inliaiment petil autour du point x, y, z et soit p {r, y, z] la masse de l'unité de volume, ou lu densité en ce point; nous supposerons celte densité essenliellemont finie. Ce volume exercera sur le point A une attraction ropréaenti'e par Tellement
ou, plua simplement, en supposant la constante / égale à l'unilc, par
Le poletitiel est l'intégrale triple
(tC)
=iy/-=
hl)d. = Sti^Ui±)a.,, (17)
le champ de l'intégralion comprenant toute la niasse attirante. Nous allons encore montrer que les dérivées do V sont égales aux composantes de l'attraction exercée sur le point A.
280. 1° Aous supposerons d abord que le point A ne /ait paspartie de la masse attirante. Dans ce cas, aucun élément de l'intégrale (17) ne devient infini et l'on peut, sans précaution, ditTérentier sous le signe S. On aura donc, en écrivant : au lieu de p {rc, y, s),
^a • (ta
ou, en cfTectuant,
S = S?.-i=-îd«; (18)
on aura même deux autres égalités.
Le voiame élémenUire 16) exerce sar A uoe action dont la composanU^ suivant ox a pour expression
on a donc encore, en désignant par X, Y, Z les composantes de l'attraction totale.
Ce sont les formules (15).
28 !• 2^ Supposons maintenant que le point A fasse partie de la masse attirante. Nous allons démontrer que^ dans ce cas encore, non seulement le potentiel, mais aussi ses dérivées du premier ordre sont finis et continus.
A cet eiïet, employons les coordonnées polaires déGnies par les formules
X — a = r 008 0 oos '!/ \
y — 6 = r cos 8 sin '{/ > (!9)
z — c = r sin 6 ; )
rélément de volume a pour expression
rfo) = r* sin Mrd^d^, et le potentiel (17) devient
V = Spr sin 6 drdM'l^,
Il ne renferme plus aucun élément infini, V est donc fini. Considérons maintenant la quantité
X = Sp ^^ rfo), (20)
qui figure dans le second membre de l'égalité (i8) ; par la même transformation de coordonnées, on lui donne la forme
X = Sp sîn 0 cos 6 rfrefOd'^. (2!)
Cette quanlilé est encore finie ; mais il n'est plus permis d'affirmer qu'elle est la dérivée de V, parce qu'on Ta obtenue par une difTérencialion sous le signe S. Pour établir ce point, uous décomposerons la masse att.rante M en deux masses M^ et M^, l'une M^ étant très petite et contenant le point A ; à ces deux masses correspondent deux potentiels Vj, V, tels que
V = Vi 4- Y,.
Les attractions correspondantes ont pour composantes, suivant ox, Xj, Xj et l'on a évidemment
Considérons dans la masse Mi un point A!, très voisin de A, sur une parallèle a ox et soient Y', V',, V, les potentiels correspondants relatifs aux masses M, M^ M^. Nous aurons
Aa Aa Âa '
on a évidemment. M, étant une masse extérieure à A et à A',
lorsque Aa tend vers zéro.
D'autre part, si l'on met Xj sous la forme (21), il est évident que Xj a pour limite X lorsque le volume de la masse
Mi tend vers zéro. Si donc nous pouvons prouver que — ^*--r — ^ tend vers zéro avec Aa, il sera établi que
^ = lim ^--r— ^ = X. (22)
ôa Aa ^ '
Cherchons une limite supérieure de — ^ *- ; on a
Aa Aa \y ^v Aa rr
Soit P un point quelconque de la masse Mj ; dans le triaa- }^le PAA\ on aura
Donc
la
< S — , rfo) < Sp^p H- pj^rfo) ;
dans le dernier membre, Tintégrale se décompose en deux
qui sont finies comme on le voit en prenant des coordonnées polaires dont le centre est A pour la première, A' pour la seconde. Ces deux intégrales étant finies tendent vers zéro lorsque le volume de la masse Mt tend vers zéro, ce qui établit la formule (22).
282. Il résulte immédiatement des deux numéros précédents que la force a pour expression
