VU) -^U

c* est-à-dire qu'elle est égale au premier paramètre différentiel de Laine A|V«

283. Le potentiel V, étant fini et déterminé, ainsi que ses dérivées premières, dans tout respaco, est une fonction coii' tinue des coordonnées du point A.

284. Le potentiel et ses dérivées premières tendent vers zéro lorsque le point A s^ éloigne à f infini.

Posons

FORMULE DE tiREGN.

Le potentiel peut s'écrire

lorsque R devient ïnliDi, le rapport - tend vers

produit R X V lend donc vers une limite finie, ■nasse attirante M, et le potentiel V tend vers si o t ou, plus simplement, comme = .

De raéaie, on aura

H' — :^ O3 — — dm

— ■ lend vers l'unité, -~^ tend vers le cosinua d

que fait avec ox la direction dans laquelle A s'est i'infini. On a donc

limR»^ = — Mcosa, Les dérivées premières du potentiel tendent vers z

285. Passons aux dérivées secondes. Il n'y a t «une difficulté si le point A ne fait pas partie di attirante. On peut encore dériver sous le signe S et >

: Sprf.^1

Si l'on ajoute ces trois égalités membre ù m< obtient la célèbre Equation de Laplaee :

*iS&, Si le point A fait partie de la masse attirante, le< dérivées secondes sont indéterminées en ce point parce qu'elles ont un élément infini et rien de ce^qui a été établi au paragraphe précédent ne subsiste.

Nous mettrons alors la dérivée première [^sous une]^autre forme. On a, dans tous les cas,

fff^'-

d*où

isa

D'autre part on a vu (n° 273) que toute intégrale triple peut être remplacée par une intégrale de surface

/ / / ^ dxdydz — I I Vd7 cos (N, x). Posons U = p X --; lii formule précédente devient

et, par suite, on a

g =f fj l S^ ^-%^- -f f~ .«^' cos (N. X). (25

ORMULB DE GREE?:, POTENTIEL

somme de deux fondions dont l'une est un potenliel-volume ; l'autre ne contient plus d'élément infini, comnnc on s'en assure facilement. Preriuns alors de nouveau les dérivt^es par i'.ipport à a :

S =J j J ÎÙ '■-'■■'«'''-] J pï^A-MN,.);

mais la deuxième intégrale contient un élément infini, parce que, si A est aur la surface, on a, en assimilant la surface k un élément plan dans le voisinage du poinf.

La seconde intégrale est donc indéterminée; mais formons A,V

£É ^ — " , 'V !/ — ^ , "p • — ^ „ ■'? -'— cos (N. x\ + -î^^ cos (N, y) ■+ ~? co3 (N, :î) = cos (N, y) ; donc

Soit dS rélément d'une sphère de rayon un ayant le point A pour centre. On aura dans lout le volume

et sur toute surface limite

d7 CCS (N, r) = r'-dS.

La valeur de A^V devient ainsi

elle est dégagée de lout élément pouvant devenir infini.

Appelons Po la densité au point 0 ; la première intégrale triple s'etlectue en partie et Ton a

d'où enfin

A,V = ~ 47:po. (26)

Cette équation remarquable est connue sous le nom A^équalion de Poisson; elle contient l'équation de Laplace comme cas particulier, puisque, dans le cas où le point A ne fait pas partie de la masse attirante, la densité Po y est nulle.

Î887, On peut, de cette équation, déduire une autre formule célèbre, due à Gauss. En clTet écrivons l'équation précédente

III ^i^ dxdydz=^ — 4~ III ?^dx dydz^

l'intégration i-tant éteadue de nouveau au volume de toti partie. M, de la masse agissante. L'intôgrale du second n bre a pour valeur cette mas^e M. Quant au premier men àl s'tîcrit, à cause de la formule d'Ostrogradsky (n" 273),

ffi

l'inli-gration s'elTecluant sur la surface qui limite M.

Soit F la force qui s'exercerait sur une molécule de n unité placée au point x, y, z de la surface, F^ sa compo! normale, X, Y, Z ses composantes suivant les a\es. On a

de »!/ ,>3

F, = X cos (N, œ) + Y cos (N, y) -i- Z cos (N, 2).

L'intégrale préc<.>dente s't^rit donc

Il en résulte Véqtiation de Gauss

Jf...^..

Si l'on changeait le sens positif sur la normale, il fau ■écrire

Cette équation se traduit par l'énonce suivant. Cuasidi une surface fermée quelconque et multiplions chaque élé -de la surface par la composante normale de lattractioi

s'exercerait sur une molécule de masse égale à l'unité placée sur rélémcnt ; la somme de ces produits est égale au produit par ^r. de la masse attirante renfermée ù Tintérieur de la surface.

Surfaces de niveau

288. On appelle surface de niveau le lieu des points A pour lesquels le potentiel conserve une valeur constante

V = V (a, ô, c) = constante

La force (T attraction appliquée en un point A dune surface (le niveau est normale à la surface.

En effet la force a pour composantes X, Y, Z et les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à

ôV ôV ^\ Isa' ô6 ' ôc '

c'est-à-dire à X, Y, Z.

On a de plus F == ih -7- , cette dernière dérivée avant la ^ dn

signiOcation du n° 273. Supposons maintenant le point A mobile dans l'espace ; le travail élémentaire de la force appliquée à ce point, a pour expression, comme nous l'avons dil^ Xda -h Yc?6 H- Idc = — d\ et le travail total quand on passade la surface de niveau V^ à la surface Vb s'exprime par la différence

T = V„ - Vx Supposons le point mobile venant de l'infini ; alors

On voit donc que \q potentiel en un point est égal au tro' vail de l'attraction totale qui se serait exercée sur le fo'mi

pour l'amener de f infini à la position qu'il occupe actnellf ment dans l'espace. (lelte propriété est souvent prise pour di lînition.

Les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau, c'es' à-dire les lignes de fiux ont pour équations

dx dif dz

Principe de Dirichlet

380. En résumé, lo potentiel jouit des propriétés suivantes. C'est une lonction des coordonnées du point a, b, c <|ui s'annule à l'inQuî ainsi que ses dérivées premières, qui es •-ontinue ainsi que ses dérivées premières dans tout l'espaci et dont enrin les dérivées secondes vérlTient l'équation di l'oisson

i,V = -fcf.

Ces propriétés sont caractéristiques; nous les appelleront conditions de Dirichlet. Il peut mt^me se faire qu'on ignore s en eertaios points isolés, ou sur certaines lignes isolées ou sui certaines surfaces, l'équation de Poisson est vérifiée. La fonction n'en sera pas moins parfaitement définie. Il suffit, poui lo voir, de vérifier que la différence m de deux fonctions V cl V', remplissant les conditions cï-dessus énoncées, est nulle dans tout l'espace.

On aura alors

lie plus u est nulle & l'infini et sur les surfaces limites; elle est linie et continue dans tout l'espace. Multiplions les deux

membres de l'égalilé précédente par wrfw el ialegrons dan> tout l'espace occupé par la matière active. Il vient

Ai ifdbi = 0 ;

ce qui peut s*écire, à cause de la formule (4) dans laquelle on fera V = U,

///te)'- (S)'- (â*)'] --//■' s- =»■«=«'

l'intégrale double s'étendant à toutes les surfaces limites.

Mais u est nulle sur toutes ces surfaces, donc l'intégrale double est nulle, et il en est de même de liotégrale triple dans tout l'espace, à cause de (28) ; on a donc identiquement

ùa ^0 iv

î( a donc une valeur constante, et, comme elle est nulle sur les surfaces limites, elle est nulle dans tout l'espace.

Cette démonstration suppose les surfaces limites à distance finie, parce que les hypothèses faites n'entrainent pas Tanna-

lation de w -- rfor à TinGni: nous examinerons bientôt com-

ment il faut la compléter si le champ de Tintégratioa est inSni. Mais auparavant nous établirons deux corollaires.

200. Premier corollaire. Soit u une fonction finie et continue ainsi que ses dérivées dans tout un espace limité, ayant une valeur constante C sur les surfaces limites, et enfin vérifiant réquation

Cette fonction sera constante dans tout l'espace considéri'. lin eifet la fonction u — C satisfait à toutes les conditions du théorème précédent. Elle est donc nulle identiquement.

Ce corollaire s'étendra de lui-même au cas d'un champ wfini, dans les mêmes conditions que le théorème.

SOI. Dettxième corollaire. Une fonction îi, finie et continue ainsi qae ses dérivées dans un espace limité, et telle que

Aj u = 0,

ne peut prendre dans cet espace que des valeurs comprises entre la plus grande M et la plus petite m des valeurs qu'elle prend sur les surfaces limites. En effet, supposons qu'elle puisse atteindre en un point 0 de cet espace une valeur u^, supérieure à M

Sur tout rayon raend de 0 à la surface limite il sera, à cause de la continuité, possible de trouver un point P en lequel la fonction u prenne une valeur Uj, assignée d'avance entre I/o et M. Le lieu de ces points P sera une surface fermée; la fonction u, constante sur cette surface, satisfera à toutes les conditions du premier corollaire. Elle sera donc constante dans tout l'intérieur de la surface, et, en particulier, en o où devra avoir la valeur Uj„ ce qui est contradictoire avec la supposition qu'elle a la valeur ti^.

202. Revenons au théorème pour examiner le cas d'un champ infini. Il s'agit de démontrer qu'il ne peut exister deux solutions distinctes satisfaisant aux conditions de Dirichlet,

En effet, s'il existait deux solutions distinctes s'annulant à linfini, il serait possible d'assigner une sphère de rayon très grand sur laquelle leur différence u aurait des valeurs inférieures à un nombre e fixé arbitrairement. Cette sphère renferme les autres surfaces limites sur lesquelles la différence est nulle ; d'après le corollaire précédent, la fonction u ne peut prendre entre la sphère et les surfaces limites que des valeurs comprises entre s et zéro. Comme s peut être pris aussi pelil que Ton veut, u est identiquement nulle.

893. Le problème ou principe de Dirichlei consiste en ceci. On vient de voir qu'il ne peut y avoir deux solutions.

SOO CHAPITRE IX

Mais en existe-t-il toujours une ? C'est la question qae nous allons traiter en faisant observer que nous n*avons pas eu besoin de faire intervenir les propriétés du potentiel qui consistent en ce qu'il tend vers zéro comme g , et ses dérivées

comme wj •

Remarquons d*abord qu'il sufQt de démontrer le théorème pour Téquation de Laplace. En eiïet soit

A, V = — ikp

l'équation de Poisson ; elle admet une infinité de solutions, nous le démontrerons en étudiant les équations aux dérivées partielles. Soit V© Tune de ces solutions, on posera

V=Vo-f-W

et W satisfera à Téquation

Il s'agit donc de trouver une fonction satisfaisant à Téquation

dans un champ donné (d'un seul tenant ou non), et qui prenne des valeurs données sur les surfaces limites qui limitent ce champ.

II existe évidemment une infinité de fonctions qui prennent sur des surfaces données des valeurs données. Soit W celle de ces fonctions qui rend minimum l'intégrale triple

nous allons montrer que W est la solution cherchée. En effet soit U une fonction qui s'annule sur les surfaces données ; ^^ fonction

FORMULE DE GRfiBN. POTENTIEL 401

prendra sur ces surfaces les valeurs données, quelle que soit h. LHntégrale triple, ci-dessus considérée, s'écrit pour cette fonction V

et elle pourra être rendue inférieure à son premier terme pour des valeurs sufQsammeat petites de h qui rendront le second terme négatif, si ce second terme existe. Pour que le premier soit un minimum, il est nécessaire que le second disparaisse, ce qui entraîne la condition

/ôU t>W (>U cvW î>U ù\V\ ,

A cause de la formule de Green, on peut écrire cette condition

f f /''■'" '-ff

Mais U est nulle, par hypothèse, sur les surfaces auxquelles s'étend la seconde intégration. On a donc dans tout le volume

fff" '■ "

' iho = 0;

Calcul ixrimTÉsiaLVL 20

40â CHAPITEB IZ

or cela Q*eat possible, pubqae U est arbitraire, que si

A, W = 0, ce qui démontre le théorème.

204. Le problème de l'attraction, a donc toujours une solution. Mais s*ilest prouvé qu'elle existe, sa détermination pratique est loin d'être effectuée. Nous ne pouvons pas exposer les importants travaux auxquels ce problème a donné naissance. Nous nous bornerons à faire connaître les résultats les plus simples.

Attraction des sphères, «les ellipsoïdes

S95. Nous examinerons d'abord l'attraction d'une couche sphérique sur un point A (a, b, c). La couche sphérique peat n*ètre pas homogène ; nous supposerons seulement que la densité p en un point ne dépend que de la distance de ce point au centre de la sphère. Soit r cette distance : on peut supposer Torigine des coordonnées au centre de la sphère, c'est-à-dire écrire

r* = a^ 4- 6^ 4- c' rdr =1 ada -h bdb -h cdc.

Le potentiel V sera évidemment une fonction de la seule distance r et l'on aura identiquement

ôV dV a

o«V d^\ a^ r« a^'dV

ba dr r*

ôa* dr* r* r^ dr

, „ d^Y 2 rfV

* dr^ r dr

Calculons encore la masse M de la couche sphérique ; si K etB, sont les rayons des sphères qui limitent la couche, ou

aura évidemment, en désignant par > le rayon d'un intermédiaire

et si la couche est homogène

Cela posé nous aurons à considérer deux cas.

206. i° Le point k ne fait pas partie delà couche Sf On a alors en ce point

ou encore

c et (/ étant deux constantes arbitraires.

Si te point A est à l'intérieur de la couche sph^ pourra fitre i l'origine, et comme le potentiel est fini, qu'oD ait

. Pour calculer la constante c', revenons à la définit]

.fffu...r\..

40i CBAPITRE IX

Comme il est constant, on peot supposer le point A à Torigîne, c'est-à-dire poser r = X. On a alors

oXfA.

et dans le cas d'une couche homogène

XrfX = 2rp'R,* — R^«). (29

Le potentiel étant constant, les composantes de rattraclion et Taitraction sont nulles. Donc une masse creuse formée de couches sphériques homogènes n'exerce aucune action sur tm point situé dans la cavité. Le théorème subsiste si- le poiot est sur la surface intérieure de la cavité.

Sî le point A est à Textérieur de la masse, on sait que ie produit V X r tend vers la masse M attirante lorsque le point s'éloigne à Tinfini. On aura donc

Rfi

et pour une couche homogène

V = ji:^,(R.'-Bo»). (30;

Donc U7ie masse creuse formée de couches sphériques concentriques et homogènes exerce sur un point placé hors de sa surface extérieure la même attraction que si toute cette masse était concentrée au centre. Le point peut être sur la surface extérieure de la masse.

FORMULE DE GRE£N. — POTENTIEL 40o

!IÏ0'7« 2^ Le point A fait partie de la masse attirante. Soient Bq et R, les rayons des sphères qui limitent cette masse

Il résulte de ce qui précède que le potentiel se composera de deux parties, celui Vi de la couche comprise entre les sphères de rayon r et R, et celui V^ de la couche limitée aux rayons Rq et r : la dernière couche seule exerce une attraction sur le point. On aura

En supposant la densité constante dans toute la masse, on a

V = 27rp (R» r») -4- I TT & (r» - R„»), ou en simplifiant,

V = 27rpR« - \ TTor^ - \ rp ^ . (31)

On en déduit pour la force attractive

dr 3 ' 3 ' r

S'il s'agit d'une sphère pleine, Rq = 0 et rattraction a pour expression

Elle est proportionnelle à la distance du point au centre de la sphère.

208. Il n'est pas sans intérêt de vérifier sur cet exemple simple les propriétés fondamentales du potentiel. V est ici

une fonction de r seulement qui prend, lorsque r varie de zéro à rinPini^ les trois formes suivantes (29) (30) et (31). :

pour

R.<r<Ri

pour

-Ro^)7..

Celte fonction est continue comme on le vérifie aisément en faisant r = R^ ou R,* aux point où la fonction change de forme. Ses premières dérivées, qui représentent Tattractioa exercée sur le point A, sont également continues. Mais on

trouve pour les trois formes de -j-j successivement

pour pour

pour

0 < r < Ro Ro < r < R,

Rj < r < 00

dVjf

— - TTO — *-

Les deux dernières expressions ne sont pas identiques pour r = Ri : la dérivée seconde est donc discontinue. Si Ton calcule AjV, dans le cas du point A faisant partie de la niasse^

on aura {n^ 297)

^^^ dr^

2dy

r di

Le potentiel, que nous avons trouvé par un prooédé indirect, vérifie donc bien l'équation de Poisson.

200. Nous nous bornerons à énoncer les résultats relatifs kV ellipsoïde. Soit

réquatîoA de rellifpsotde ; «, ^, ^ les cooMioanées du poiat aitké.

Si le point A est extérieur^ Maclauria a démontré que roii peut remplacer rellipsoïde, supposé homogène, par un autre homofocal au premier et dont la surface passe par le point A : les actions exercées par ces deux masses sont proportionnelles aux densités et aux produits des axes des ellipsoïdes, elles sont dirigées dans le même sens.

Si le point A est intérieur, la composante suivant ox a pour expression

les deux autres s*en déduisent par des changements de lettres. Elles dépendent des fonctions elliptiques ; elles sont proportionnelles aux coordonnées du point attiré. L'intégrale à calculer est la même quelle que soit la position du point.

Potentiels-surfaces

300. On a souvent à considérer en électricité des couches électriques qui sont superficielles. Il leur correspond des potentiels qui ne sont pas tout à fait analogue aux précédents.

Soit un élément de surface d& autour du point M de la surface S, et soit k un coefficient attaché à ce point (densité électrique) ; le coefficient k est une fonction des coordonnées x, y, :; du point M. L'attraction exercée par l'élément de surface rfS sur une masse-unité placée en A (a, 6, c) a pour expression

en posant

r"' = (a? - rt)« 4- (y - hy -\- {z — c)\ et le potentiel de toutes les actions analogues est la fonction

Tintégrale étant étendue à toute la surface S. Il est facile de vérifier que, si le point A ne fait pas partie de la surface S, ce potentiel jouit des mêmes propriétés que les potentiels-volumes et en particulier que Ton a

80I. Il en est tout autrement si le point A est sur la surface.

Je dis d'abord que, môme dans ce cas, le potentiel reste fini. En effet il se compose de deux parties, celle V, qui provient des points de la surface non voisins de A et Taulre V. qu'on peut considérer comme provenant des points de la surface renfermés à Tintérieur d'un cylindre de révolution dont la trace sur le plan tangent en A sera une petite circonférence de rayon R concentrique au point A. Appelons r, la projection du rayon vecteur r = AM sur le plan tangent, w Tangle de r et de r^, dS^ la projection de l'élément rfS et e l'angle du plan de Télément rfSj avec le plan de pro-jeclion : on aura

Tj = r ces u)

(IS^ = dS ces e

y M M €*> ces O) C/S

r / / ACO

ces 8

Si le point A est un point ordinaire de la surface, les angles <jii et e seront petits, et la quantité

k ces

ces e

sera inférieure à un nombre M fini. On aura donc

mais, en introduisant des coordonnées polaires

dS, = r, dr, m.

On a par suite

V, <M / / di\(l9

V, < 2i:RM

Le potentiel V, est donc fini, et même peut être pris aussi petit qu'on voudra puisque le ras'on R du cylindre de révolution est arbitraire. Le potentiel V est donc fini et continu pour tous les points de l'espace, y compris ceux de la surface.

SWt. Examinons mainlenent les dérivées premières, et pour simpliQer, supposons d'abord la surface agissante plane. Soit o: un axe perpendiculaire au plan, et ox, oy deux axes dans le plan ; nous allons étudier comment se comporte la d(5rivée par rapport à z lorsque le point A parcourt oz.

Le point M agissant i5tant dans te plan xoy a pour coordonnées polaires ,o cos 6, p sin El et o ; on a alors

v= r fHM3 j j *>' + <='

Si la différentiation sous le signe / / était permise, on au-

Posons

y M M fiCpdoclB

= c I P^P , I kdf^

,2ir

if -h C^)

en limitant Tintégration^à un cercle de rayon très petit e, parce

que, en dehors de ce cercle, Z est évidemment continue. L'iû-

tégrale s- / kd^ a pour valeur la densité moyenne K dans

le cercle de rayon o :

cette expression peut encore s'écrire, en vertu du théorème de la moyenne,

Z = 2irc K

z = 27r C Ko Uc^) ^ — (e* H- C«) ""à j

Si c est positif, on a (c*) "^ = - ; si c est négatif, (c*) * = .En distinguant ces deux cas par un signe mis comnie

indice à la lettre Z, on aura

Si e tead vera zéro, l'une de ces valeurs tend vers i-aK^ et l'autre vers — 2ît Kj. La fonclion Z éprouve donc une brusque âîscoDlinuili5 lorsque le point A traverse le plan des j-^; mais l'on a en tout cas

en désignant par A, la limite de K„ lorsque « tend vers zéro, c'est-à-dire la densité en M.

Mats, pour tout l'espace où il n'y a pas de discontinuiti^, on a

'" ~ rfr ' on a donc à la limite, lorsque c tend vers zéro,

303. n est presque évident que ce théoritme subsiste lorsque le plan est remplacé par une surface qui lui est tangente en 0. On s'on assurerait facilement en considérant la fonction

dont la partie principale est, pour :; et p inOniment petits.

J J fr' '+ 4'

c'est-à-dire l'intégrale qui vient d'être étudiée. On a donc

Z + — Z = Z, 4. — Z, = 4^0, on encore, par une notation qui s'explique d'elle-même,

ÎA z* x A ^- -ina»:»*^ trrrtTwr li f«rifc(CA scâruiî la oor-

.♦L T — ist"^ : Kdif j*eiiie in» jef •'''j.y«- — . -^— sont coa-

l-Wîf-

z-r :,-r'.'. :a ' L ci- Ii.c iT*r >* aies des aB:zles «, ?. ;,

î^ri ^à -^ir^L .:a jt 1* àtîrrt* -.t rda-tire à cette direc-

— *•:■§ s ;•» s — — cos

-^ drzx ^z^zz^ATS çr^;<L*t5 «:»bI ank en vertu de la conlin- :é ie§ d-^rrr^ q^I j $oal coatinoes; le dernier a poar Talrur — 4"» I, iZTLznt en l'a vu au numéro précédent. On i d:n*

— — - . * = 4=lr^ cos 7. (3i)

Ea r<r<um^. le poteotiel-$arface est ane fonction finie et codtio'j? d«n§ io jt l'espace ; saaf sur la sarface agissante où l'on a

EaGn l'on viTÎîieraît aisément, comme pour les poteatiels-

volumes, que les produits Vr et H ^— sont finis lorsque r devient infini.

'OnUULB DE GRBEN. — POTEXTIKL

Polcnticis-ligncs

305. Il nous reste & examiner l'efTet produit par de la matière active répandue le long d'une courbe, d'un 111 électrique inQniment mince par exemple.

Pf eus appellerons e la densité linéaire au point M (a:, y, s) ; c'est une fonction connue en chaque point de la courbe. Soit ds l'élément d'arc. Le potentiel-ligne est l'expression

C'est encore une fonction continue des coordonnées du point A, ainsi que ses dérivées, dans tout l'espace excepté peut-être le long de ta courije, ce que nous examinerons dans un instant. On a de plus dans tout l'espace, excepti! sur la courbe,

Examinons ce que devient cette fonction lorsque le point A est sur la courbe ; la seule partie du potentiel qui puisse devenir iadéterminée est celle due aux éléments de la courbe voisine du point A. Nous considérerons seulement le cas d'une droite limitée au voisinage de A. Soit ox cette droite ; supposons le point A sur 01/ et soit tj son ordonnée. On a alors

■ étant petit. Le théorème de la moyenne permet de faire

sortir e du signe I , en mettant en dehors une valeur e^ coni* prise entre le maximum elle minimum de e :

V = ^ilog , ,

= 2^1 [log (e -H •»!« -^ 6>) — log ij]

Lorsque r^ tend vers zéro, le premier logarithme reste fini, parce que e ne peut être nul tant qu'il y a de la matière active ; V devient donc inGni comme — ïe^ log t^. La dérivée devient

inGnie comme — ~i, c'ost-à-dire que le produit r, tend

vers — 2e^, en désignant par «o !& densité au point 0.

On verrait, par des procédés analogues à ceux déjà employés, que ce théorème subsiste si la droite est remplacée par une courbe qui lui est tangente en 0, et aussi que Y tend vers zéro le point A s'éloigne à l'infini.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ces potentiels, moins usités que les potentiels-volumes et nous termineroa» le chapitre par quelques considérations sur des fonctions qui se rencontrent dans un grand nombre de problèmes de physique ou de mécanique et qui sont intimement liées à ce qoi précède.

Fonctions de Laplace

300. Les potentiels sont, comme nous Tavons vu, des solutions de l'équation

lU- î>^* ^z^ ^ '

exception faite de certaines régions de l'espace où l'on a AjV = — 47rp. Ce ne sont pas d'ailleurs les seules solutions. Maïs leur existence suffit pour montrer tout l'intérêt qui «^attache à l'étude de cette équation. On appelle fonctions de Laplace les solutions de cette équation qui sont des polynômes homogènes, ou plutôt les fonctions de 0 et <p qui en résultent après la transformation des coordonnées rectilignes en coordonnaires par les formules

00 =zr sin 0 cos «p

y r=zr sin 0 cos cp V (36)

z := î' cos 0

Nous avons vu (l n^ 111} que cette substitution transforme réquation (35) dans la suivante

^ 1 b^ 1 0*1^ 2 ôw cot e Î>M ^ ^

La fonction Y„ de Laplace, ou fonction sphérique d ordre w, sera une expression homogène de degré n en sin 0 cos ?, sin 0 sin <p et cos ô, telle que

soit une solution de l'équation (37). Elle contient 2n h- 1 coefficients arbitraires ; en effet un polynôme homogène u de degré n contient (» -^ ){n-^2) ^^Q^iQ^j^j^^g jyjg^jg ^^^ ^^^ j^ ^^^^^

n — . 2 et doit s'annuler identiquement, ce qui donne (^Lriilî conditions ; il reste donc (^ + ^)'> + 2) iJL^J} ^ ou2n+l coefficients arbitraires.

SOT. Les polynômes Yn vérifient une équation différentielle facile à former ; il suffit de porter dans l'équation (37) la valeur (38) de w. On trouve ainsi

n(n-M)Y„H-coie^^"H-^Y,^^^.nr,^^ (39)

308. Théorème, — Soient Yn et Yn' deux fondions sphériqties. On aura^ sur la sphère de rayon un,

en désignant par d<t T élément de la surface sphérîque.

Ea elTetla fonction Y» vérifie l'équation (39), qui peut s'écrire

n (« -+- t; Y„ de même on a

sTrê dh (*'° « -^j

sïn 0 dO \^'"

ôY„-

dO /^ sin

Multiplions la première équation par Yn', la deuxième par Yn ; puis retranchons membre à membre. 11 vient

[n(n+l)-n'(n'4-l)J YnY„'

i__ '^ Ty îL^» y ^^"'1 — n

sm « e r/;^ L ** f>ç "" ^" Tf J "" "

Multiplions les deux membres de cette équation par (h, c'est-à-dire par sinO ch dB, et intégrons sur toute la surface de la sphère ; pour cela, faisons varier 6 de 0 à tt et o de 0 à 2i: ou inversement e de 0 à 2?: et © de 0 à r. Le deuxième terme de Téquation par exemple s'écrira

I d, [«i„ 0 (y,, ^» - Y„ ^.jf^ .

FORMULE DE GRtEX. -~ POTEMIEL 417

Ce dernier crochet est un polynôme en sîn B et cos 0; il pread donc la même valeur pour 0 = 0 et pour 8 = it. L'intégrale est donc identit^uemenl nulle. On verrait facilement qu'il ea est de même du deroier Icnne de l'équation que nous intégrons sur la sphère ; il reste donc seulement

ce qui est bien l'équation (iO).

l.a démonstration supposa essentiellement n ^ n'.

309. Les polynômes X„ de Legendre (Chapitre IV} ou plutôt les polynômes P„ qu'on en déduit en y remplaçante par cos u) sont des fonclious de Laplace.

Considérons en ellet un point A de coordonnées 1, e, <; sur lu sphère de rayon un et point M (p'.O'.s') quelconque intérieur :

A M = r = (1 -i- p" — 2 p' cos 0)) ' ;

l'angle w des rayons veoleurs OA et OM est donné par la formule de trigonométrie sphérique.

cos to = coa 0 cos S" -r sin 6 sin 0' cos (=. — f ) (41) on îait que la fonction V = - s^atislail à l'équation (35); c'est

418 GitAPlTRB IX

une fonction de 6 et cp à cause de (41). D*autre part^ si on la développe en série suivant les puissances ascendantes de p', il résulte de la délinilion même des polynômes de Legendre qoe le coefficient de p" sera le polynôme P», et comme réquation Aj V = 0 doit être vérifiée quel que soit p\ P„ est une solution de cette équation, c est donc une fonction sphérique.

310. Le potentiel d*une couche sphérique quelconque de rayon R peut être développé .en série ordonnée suivant les fonctions ¥„. On a en effet

d(j étant l'élément de la sphère de rayon un ; si p est le rayon vecteur du point attiré A, on a

r = v'R* — 2Rp cos 0) H- p*.

Suivant que R est inférieur ou supérieur à p, on écrira

r = pi/i cos w H y

. = Ry/l-2-^

1 2 Y, cos 0) -h 1T5

Ton développera - en série suivant les puissances ascen-

dantesde -ou de £. On mettra ainsi le potentiel sous une p R .

des deux formes :

pour l'intérieur V» = 2 B„ f ^ j •

L'équation Ag V= 0 ayant lieu quelque soit p, A„ etB» sont encore des fonctions Yn, et le problème résolu.

31 1« On déduit delà le développement d'une fonction quelconque de 0 et de <p sous la forme d'une série de fonctions de Laplace

F (0, ?) = Yo 4- Y, H- Y, -+- ... -h Y, -+- ...

Il suffit pour cela de concevoir que, sur la sphère de rayon uUy on a répandu une couche active de densité F (0, «p) au point

Nous avons vu (n^ 305) qu'on a pour cette densité la formule

^-^^2il\dn) I UJ-J

Tintégrale étant prise sur la sphère de rayon R. Nous venons d'apprendre à développer Y en série de fonctions sphériques ; d^autre part

(dy\ (dv\

On a donc tous les éléments de la solution sur laquelle nous ne nous étendrons pas davantage.

Théorème général

312« On rencontre en mécanique et dans les applications de la physique des actions, d'une autre nature que les attrac-

420 CHAPlTaB IX

lions ne\Yioniennes, dont nous devons en dire quelques mots.

Soit en M (x^y^ z) un élément agissant, masse vecioriellej assimilable à un vecteur MF dont nous désignerons la grandeur par la lettre F et les angles avec les axes de coordonnées par les lettres a, p, y- L'&ction laplacienne exercée sur un point A {a, bj c) sera un vecteur $, perpendiculaire au plan

ÂMF dans un sens tel qu*un observateur ayant les pieds en M et la tôte en F le voie dirigé de droite à gauche : enfin la grandeur du vecteur sera

^ „ sin 6 4» = F

en désignant par 6 l'angle AMF, et par r la distance AM. Le^ actions laplaciennes se combinent entre elles et avec les attractions newtoniennes suivant la règle du parallélogramme des forces.

313. Cela posé, Vaschy (Traité d'électricité, chap. III) a démontré le très intéressant théorème que voici : tout vecteur / dont la grandeur et la direction sont déterminées^ dans taxe région limitée Z7, en fonction des coordonnées de son origine suivant une loi quelconque, peut être considéré comme la résultante géométrique d'attractions laplaciennes et newtonieruies dues à un système de masses domiées.

La démonstration repose sur la formule d'Ostrogradsky que

nons avons établie (n<* 274) et que nous reproduisons, avec un changement de notation facile à saisir

mov -h nffw) <iff = 0 ;

/, wi, n désignent les cosinus des angles a, p, y que fait avec les axes la normale à la surface S. Cette surface S se compose de la ou des surfaces qui limitent la région U à laquelle s'étend l'intégrale triple ; elle peut même comprendre des surfaces de discontinuité intérieures à cette région et dont il faut alors considérer les deux faces successivement.

Le vecteur donné /a pour projections sur les axes des fonctions données X, Y, Z des coordonnées. Prenons pour fonctions

tij V, w dans la formule précédente les trois dérivés de - où

r« = (37 — a)2 -+- (y — . 6) 4- (:3r — cf ; et soit o = X. Nous aurons

De même si Ton pose, dans la formule (42)

on aura

GHAPITBS IX

J J J \jlu

da?

do;

dx\^ ôy

et, d'une manière analogue,

dz \ îvr/ dx \'" ^;^

G?ci>

zv^'^ -/^v'^'^**-

Additionnons les trois dernières identités membre à membre; comme Ton a

il vient

jr/bX ôY 6Z\ "£ /':îX fîY\

^fe-i)J^<-+7 c/ L^

(« -t- wY + nZ)

+ 1^ ('«" - 'if) +

■^ (nX — «) I d» = 0.

Isolons du volume total U une petite sphère ayant le point

A (a, b, c) pous centre : la portion de l'intégrale triple relative à cette sphère tend vers zéro avec le volume de la sphère si les fonctions X, Y, Z et leurs dérivées sont continues (ce que

sphère : on aura en tous les points de cette surface

et par suite

f = - f A^ - ay -h (y- h)^ -h(^- cy

X — 5 = — 47: Xm

en désignant par Xm la valeur moyenne de X sur la surface de la sphère. Revenons maintenant à Inéquation (44) dans laquelle chacune des intégrales doit être considérée comme composée de deux parties^ celle relative à la sphère et le reste. Si le volume de la sphère tend vers zéro, les intégrales reprennent leur signification première : seulement le terme — 4irXTO subsiste et tend vers — 47rX. On a donc finalement

^4is^-j J y <« -"'^•-4'"'

^(mX-A')-H

^ (nX - «) J d,.

Imaginons maintenant huit fonctions définies par les égalités suivantes

' dx ay ^js irX = IX -+- mY -h nZ , i)Y àZ , î>Z î>X . «>X i>Y

^' dz i>y^ ^'^ t\r d;?' '^^ ^y i\a:

4itT^ = 71 Y — 7wZ, i^TTy = ZZ — «X, 47:t- = mX — lY ;

régalité (45) devient

La première ligne représente la composante suivant ox de Tattraction newtonienne totale qu'exercerait sur le point A de la matière répandue dans le volume U et sur les surfaces limites, cette matière ayant pour densité en tout point M (x,y, 5) du volume la valeur p et sur les surfaces la valeur X. Interprétons la seconde ligne de l't^alilé (47) : à cet effet concevons au point M un vecteur F dont les projections sur les axes soient ^x> Hyt t**. 8Î le point appartient à la région U, et t^, t^, •:, si le point est sur une des surfaces qui limitent la région. Si ce ver teur exerce sur le point A une action laplacienne, elle sera représentée par un vecteur $ qui a été défini au n? 313. On vérifie aisément que ce vecteur étant perpendiculaire au plan AMF, a pour projections sur les axes trois quantités dont nous n'écrirons que la première

* M= i^' - //) — t^v i^zzi) — ^ !r «. ut -^ •

il en résulte que les termes de la seconde ligne de l'égalité (i7) rcprc^sentent l'attraction laplacienne exercée par des masses

• «""îé"

fictives dont la densité vectorielle est définie par les six dernières égalités (46).

314. Deux cas particuliers sont à distinguer. 1* Si les actions /qui s'exercent en chaque point de la région U ont un potentiel, l'expression

Xdx -h Ydy -+- Zdz sera une diiïérentielle exacte et l'on aura identiquement dX__^Y__Q ?!X^^0 îï?^=:0-

les actions laplaciennes (46) n'existeront pas dans l'étendue de la région U (Electrostatique).

2^ On a dans toute cette région

ÎU? NJ iiZ *

les actions fictives se réduisent à des actions laplaciennes (Electromagnétisme).

IVotlons préliminaires

31 5. Les fonctions trigonométriques sont susceptibles de plusieurs déGnilions. Il est d*usage de les introduire dans renseignement en en donns^nt une représentation géométrique; on étend cette définition en considérant les développements en série

siaœ = a^^j^

CCS œ = i

ou encore en les rattachant aux fonctions exponentielles par les formules d'Euler. De Tun ou l'autre de ces deux points de vue, on déduit aisément les formules d'addition et de soustraction ainsi que toutes les formules de la trigonométrie élémentaire. On peut aussi (n<* 114 et suivants) considérer le sinus comme la fonction inverse de \arc sinus, cette dernière fonction étant déQnie par une intégrale

il revient au même de dire que la fonction y est définie par l'ëquation différentielle

dx /i 0^1 '

On a vu que cette fonction y est mal déterminée : outre la nécessité de fixer une constante, par exemple de dire quelle valeur prend y pour a: = 0, à chaque valeur de x correspondent une infinité de valeurs de y y et Ton ne peut définir celle que Ton considère sans introduire des coupures (n° 109) dans le plan de la variable imaginaire x.

Il est essentiel d'insister sur ce fait que, si la fonction arc sin x est mal déterminée, son inverse sin x est uniforme. Nous avons vu (n<> 125) que Tinversion des fonctions elliptiques procure le môme avantage ; mais nous reviendrons sur ce point fondamental.

316. Montrons auparavant que la définition du sinus par rinversion d une intégrale conduit facilement à la formule d'addition. Posons

Téquation différentielle

dx dy

s'intègre à vue ; on n'a en effet qu'à prendre

c étant une constante arbitraire. On peut encore procéder autrement : Téquation (1) s'écrit

/l — y* dx -f- v^l -H x^ dy = 0

d{œ^f^^^)^d{ysr^::^^)^:ry(-M=^-J^

le coefficient à'xy est nul et cette équation se réduit à la suivante

d {x v/i — y*) H- (/ (y \/i — x^) = 0, dont l'intégration est encore immédiate et donne la solution

c' désignant une nouvelle constante arbitraire. Si l'on considère c et d comme des fonctions d'ar et d'y représentées par les équations (2) et (3), leur déterminant fonctionnel (n** 97)

ÔC

ôa?

ôc'

ÔC'

est nul, comme on le vérifie sans peine. 11 en résulte qne

Or si Ton fait y = 0, v est nul ; c se réduit à m et c' à jt. L'égalité précédente devient

et comme, d'autre part.

X = sm u.

le signe fonctionnel / n'est autre qu'un sinus. Donc, en rêve-

nunt à réquatîon (4) et remplaçant les lettres par les quantités qu'elles Qgurent, on trouve

sin u v^l — sin* v -+- sio v y/l — sin* ii = sin (u -h r). (5)

C/est la formule d*addition des sinus. Si Ton pose

ces i? = v'^ï ces

u = v^l — sm* u, )

on retrouve la formule connue.

31 Y. Les formules (6) ne définissent pas sans ambiguité les cosinus correspondants; il faut encQre convenir que, pour V = 0, on a cos t? = l. Une fois cette convention faite, le cosinus est une fonction uniforme^ malgré sa définition par un radical. Des incidents analogues se rencontrent dans la théorie des fonctions elliptiques.

•Il 8» Pour achever le résumé des propositions relatives aux lonctions trigonométriques, propositions qui éclairent les théories à venir, nous rappellerons qu'on pourrait encore déiinir le cosinus par Tégalité

cos a? = siii (ï^ -h a?j, (7)

Les fonctions séc x]ei cosécx sont les inverses des deux précédentes ; la tangente et la cotangente en sont les quotients.

11 est de la plus haute importance de remarquer que la tangente d'un arc est une fonction périodique, dont la période est T. tandis que les fonctions dont elle est le quotient ont pour période 2^. En d'autres termes, lorsque Tare augmente de t^^ la tangente reprend sa valeur initiale et, si Tare continue à croître, la tangente repasse dans le même ordre par les mêmes valeurs, tandis que le sinus et le cosinus ne repassent par la môme succession de valeurs qu'après que Tare s'est augmenté de 2-^. On pressent alors comment il sera possible, en admettant des périodes imaginaires, de constituer des fonctions

doublement périodiques par des combinaisons de fonctions simplement périodiques.

3I0* Il est d'ailleurs aisé de montrer qu'une fonction uniforme ne peut pas avoir deux périodes réelles distinctes, les multiples d'une même période étant exclus^ bien entendu. En eflet, admettons d'abord l'existence de deux périodes cornmensurables entre elles, ci> et ci>', et soit ^ leur plus grand commun diviseur. On sait qu'il est alors possible de trouver deux nombres entiers a et b tels que

Mais, si b> est une période de la fonction, au) en est évidemment une, de même bta', donc aussi 8 ; et l'on voit que ta et et)' sont seulement des multiples d*une même période, c'est-àdire ne peuvent pas être considérées comme effectivement distinctes.

Admettons maintenant l'existence de deux périodes incommensurables co et (o' ; on démontre en arithmétique qu'on peut toujours trouver des nombres m et n tels que l'on ait

I mw — nto' ( <; e,

quel que petit que soit s. Mais me» — nta' est une période. La fonction uniforme admettrait une période aussi petite que l'on voudrait ; ce serait une constante.

320. Nous ferons une dernière remarque. Nous avons jusqu'à présent parlé de fonctions ayant pour période 2^

/(^-f-2Tr) = /(^).

Mais il est aisé d'en déduire des fonctions ayant une période donnée quelconque w ; il suffit en effet de poser

La fonction

est périodique et admet pour période co ; on a en effet

Première définition des fonctions eilIptlquesQ . Parallélogramme des périodes

321« On appelle fonction elliptique toute fonction inéro* morphe qui possède deux périodes. Aux méthodes que nous venons de résumer relativement auxfonctions trigonométriques correspondent trois méthodes pour étudier les fonctions elliptiques. La méthode géométrique, récente et artiQcielle (**) est peu employée ; nous la passerons sous silence ; mais avant de parler des deux autres, nous devons donner quelques détails complémentaires sur les périodes. On vient de voir que les périodes ne pouvaient être réelles toutes les deux ; le même raisonnement montre que leur rapport ne peut être ni commensurable (sans quoi il existerait une période dont elles seraient simplement des multiples), ni incommensurable (sans quoi la fonction se réduirait à une constante). Leur rapport est donc forcément imaginaire.

Cela posé, soient les deux périodes

2 ti)j = a -h 61 2 cuj = c -+- c?ï ;

si Ton représente ces deux quantités imaginaires par leur affixes A et B, on voit que tous les points qui sont les affixes

(*) A une première lecture, on peut passer les n°* 322 à 330. (••) Voir par exemple le beau Traité dllalphen sur les fonctions eUipliques.

des quantités 2mi»i^ + 2 7iUg sont les sommets d'ua réseaa de parallélogrammes qui ont des côtés égaux aux modules OA

FiG. 42

de 2u)j et OB de 2ia^. Un quelconque de ces parallélogrammes se nomme parallélofframmc des périodes. Il sufGt de conoaitre la valeur de la fonction en tous les points de Taire d'un parallélogramme pour avoir les valeurs de la fonction dans tout le plan, puisqu*eile reprend les mêmes valeurs aux points homologues.

Du réseau donné, qui est (iguré en traits pleins, on peut en déduire une inûnité d'autres, en joignant un quelconque des sommets, par exemple Torigine, à un autre sommet. Les lignes tracées sur la figure en traits pointillés et en traits mixtes donnent deux nouvelles directions qui, combinées soit entre elles, soit avec les directions primitives, donneront naissance à de nouveaux réseaux.

On appelle parallélogramme élémentaire un parallélo-

FONCTIONS BLLIPTIQUBS 433

gramme qui ne renferme à son intérieur ou sur ses côtés aucun point-période. Par exemple AFDO, OCDEne sont pas élémentaires. Les périodes primitives sont celles qui sont représentées par les côtés d'un parallélogramme élémentaire. On conçoit l'importance fondamentale de ces périodes ; nous n'insisterons pas cependant sur ce sujet qui intéresse surtout les théoriciens.

Jacobi a démontré qu'une fonction uniforme ne peut admettre plus de deux périodes irréductibles entre elles ; le théorème est presque évident : en considérant un réseau de périodes primitives, on voit qu'il ne peut y avoir, en dehors de ses sommets, aucun point-période.

322* Théorème. Une fonction elliptique qui ne devient pas infime est une constante.

En effet, la fonction étant limitée est développable dans tout le plan en série de Taylor. On aura donc, quelque soit t,

f[a^t)= fia) ^ tria) + {^ fia) + ... -f- £, /^(«)(a)

Mais Ton sait (n^ 119) que

Tinlégrale étant prise le long d'un cercle de rayon R et dont le centre est au point âf, posons

z =:.a '\' Il(cos ç -h t sin !i>) = a -f- Re*'^> d'où

Nous aurons

^"^(^) = 2inî» / A« + R«''>'""'V?;

Calcul isFisiTisiiiAL 28

le module de la fonction étant inférieur à un nombre M^ l'intégrale a un module inférieur à 2icM, et Ton a

On peut prendre R assez grand pour que le second membre soit inférieur à tout nombre (ixé e. Donc toutes les dérÎTées /x«)(a) sont nulles et Ton a

ce qui démontre la proposition énoncée.

Il résulte de ce théorème deux corollaires : 1*» iSi deux fonctions elliptiques ont dans un parallélogramme de périodes, les mêmes zéros et les mêmes pâles, leur rapport est une constante;

2*^ Si deux fonctions elliptiques ont, dans un parallélogramme de périodes^ les mêmes pôles et les mêmes parties infinies dans leur développement au voisinage de chaque pole^ leur différence est une constante.

On appelle fonctions elliptiques rf*c>rrfr^ n celles qui ont « pôles distincts ou confondus dans un parallélogramme élémentaire.

323. La somme des résidus d'une fonction elliptique par rapport aux pôles situés dans un parallélogramme est nulle.

Nous avons en effet vu (n° 127) que celte somme mullipliéo par 2^1 a pour valeur Finlégrale.

f{z)dz

prise le long du contour donné. Ici le contour est un parallélogramme le long de deux côtés opposés duquel la fonction reprend la même valeur ; par exemple on a en deux points correspondants de A B et de C D

FONCTIONS ELLIPTIQUBS

Mais, sur A B, ^ varie de z^ h z^ -+- 2u)i et Ton peut poser

jar = ^0 -+- 2 w /,

tandis que sur CDU faut poser

/ variant dans les deux cas de zéro à un. En M et M', dz prend

FiG. 43

des valeurs égales et de signes contraires. Donc les portions de rintégrale se détruisent deux à deux.

324. Une fonction elliptique a autant de zéros que de pôles dans un parallélogramme de périodes.

L'excès de la somme des zéros sur celle des pôles est égal à une période.

Le premier énoncé n'est qu'une application de la formule (21)dun'' 128, puisque la fonction et sa dérivée reprennent la même valeur en deux points M et M' correspondants de deux côtés opposés.

Pour établir le second énoncé, il suffit de remarquer que Texcès à calculer a pour valeur [n^ 128 formule (20)]

aux points M et M' correspondants on a respeclivemeat les deux différentielles

dont la somme est

Il faut intégrer le long du côté A B (ou G D) ce qui donne

el diviser par 2 izi. Mais f{z) reprenant la même valeur en A et B, les deux valeurs du logarithme diffèrent seulement d'un multiple de27rt, soit 21712^1; le résultat de Fintégratioa suivant A B et D G est donc 2m,(o,. De même suivant B D etC A, on trouve 2m^t3}^ ; en tout on a

2m^(jtii -h 2?njW,,

c'est-à-dire une période.

Les fonctions doublement périodiques définies comme inverses des Intég^rales elliptiques

325. G est à Abel et à Jacobi que revient l'honneur d'avoir établi la véritable base de ces fonctions en effectuant Tinversion des intégrales elliptiques, jusque là seules considérées. Voici le principe de cette méthode. Soit, sous la forme canonique de Legendre (n* 49), Tinlégrale elliptique {k réel et inférieur à l'unité).

v/(l - a:^) (I ktj.i\ .

on peut encore écrire

duj i

dx "" v^(i — ip«)(l — /f^)

à condilion de convenir que, pour j? = 0, on a u, = 0. Les équations (8) ou (9) établissent entre x et w, une relation de fonction à varic^ble. Nous désignerons celte relation par la notation

X = snu^ (*)

ou par

Ui = arg 871 X

Nous avons vu (n® 121) que x est une fonction méromorphe de Targument i/j et (n° 126) qu'elle admet deux périodes distinctes ; on peut, par exemple, prendre pour lacets deux circuits

Fio. 44

enveloppant Tun le point A d'abcisse t^n, l'autre le point B

d'abcisse ?, puisque ces deux points sont critiques pour Tintégrale (8).

(*) Jacobi employait la notation sin am m, cos am u et A A>n u, qu'on énonçait sinus amplitude, cosinus amplitude^ delta amplitude. Guderman Ta remplacée par celle que nous donnons dans le texte (sn, cn^ dn) et qui est aujourd'hui généralement adoptée.

Seulement pour former le lacet (OABAO), il faudra contourner le point A en suivant un demi-cercle de rayon infiniment petit afm d'éviter ce point. Soit alors

On revient en 0 avec là valeur initiale en suivant un chemia qui part de l'origine pour aller contourner le point A, revient en 0, tourne autour de A' et revient en 0, ce qui donne la période 4K ; on peut aussi commencer par tourner autour de A', puis autour de B en évitant le point A ; on aura ainsi la période 4K + 2 l'K', ou plus simplement, en retranchant la période 4K, 2 tK'. Les périodes de snu sont donc 4K et 2 iK', c'est-à-dire qu'on a

sn (Wj -+- 4K) =snvi ) ..,.

sn (u^ H- 2 t'K') z=:snu^ ) ^ '

Si l'on pose

en u, = V^l - «n» .. [

avec la convention que en w^ = rfn w^ = 1 pour u^ = 0, on obtient deux nouvelles fonctions elliptiques uniformes dont les périodes sont respectivement,

pour en ?*j 4Ket2K-+-2 tK'

pourrfnwj 2Ket4tK'.

Nous ne nous attarderons pas à établir ces propriétés qui résultent d'ailleurs facilement du n® suivant. Les formules (15) peuvent s'écrire

sn^ ttj H- en* Wj = 1 > ..gv

A-2 sn* u^ -^ dn^u, = i \ ^ ^

et réquation (9)

—^ — = en w, cbi Wj. (17)

En dérivant les équations (16), et utilisant Téquation (H), CD trouve aisément

dcn u, ,1 5 —

— , — - = — sn i«| en W| = — en u^ \Ji — en^ m^

— 1= — k} sn\u^enui = — 7(1 — dn*w,)(A;* — 1 -hrfyi'u^)

La première de ces équations pourrait servir de définition à cnui, la deuxième à dnu^, en y ajoutant les conditions initiales, et l'on retrouverait ainsi la double périodicité déjà énoncée des fonctions en et dn.

En procédant comme au n^ 317, on déduit de Téquation (9) la formule d'addition

> . sn uenvdnv -^ an v enu dnu ,.^.

Nous reviendrons sur ce sujet dans la théorie des Equations différentielles ; bornons nous à faire observer que la formule fondamentale (18) permettra d'obtenir les formules de soustraclion, de multiplication, et par suite de division, en faisant t? = -^- M. u, 2u etc. La marche est celle de la trigonométrie.

L Les fonctions de Jacobi dont nous venons d'esquisser la théorie ont été découvertes les premières, Weierslrass a proposé de leur substituer une autre fonction que nous allons maintenant définir ; sans entrer dans les raisons qui militent en faveur de son adoption, nous nous bornerons à constater que la plupart des auteurs Français contemporains lui donnent la première place (Halphen, Jordan, Tannery et Molk» Appell et Lacour, Lucien Lévy). Soit

La foDCtion x inverse de u déGnie par celte égalité est désignée par la notation

œ=/ni (20)

^s ®^ ^8 ^^^^ ^'^^ ^^^ invariants de la fonction pu et Ton a, par définition, w = 0 pour a? = oo, c'est-à-dire ^ (0) == oo .

Soient 2o»i et 2ta^ les deux périodes de la fonction pu (n^ 126) ; on aura

Par suite tous les sommets du parallélogramme des périodes, y compris Torigine, sont des pôles de pu : on peut ajouter (n^ 121) que ce sont des pôles doubles. Nous verrons plus loia que ce sont les seuls.

Il existe une relation simple entre cette fonction et la fonction sn. Pour le voir, dans Véquation (8) posons (X et / étant positifs)

d^où

Cette équation devient

A J 2v^f (/— Xj(< — A*X)

Posons alors

t=zz -^ h.

et déterminons h de manière que les trois racines du poly nôme en z aient une somme nulle, ce qui donne

Les trois racines du nouveau polynôme seront

2 — A», tf, = — j— X

et Ton aura

\/i(z — eJ(Z'-e^){z-'e^)

ce qui est la formule (19)

Si A* est réel et inférieur à un, comme on i*a supposé, on voit que les racines e^, e^, e^ sont réelles et satisfont aux inégalités

La fonction j de w définie par l'équation (23) est une fonction p (w) et, puisque

Z H Te — A

il en résulte

^ ^ *4lj X <26)

pu = 5 ^ -*-

sn}ti V X

ou encore

pu = 6,-^ £î ^ ^ (27)

wi*

Nous avons dit que k* était le module ; X s'appelle le multiplicateur des fonctions elliptiques.

Les relations entre les périodes sont

fo,

Les hypothèses sur la réalité des racines restant les mêmes» on voit que Wj est réelle et w, purement imaginaire. Lorsqu'il en sera ainsi, nous désignerons toujours par e^ la plus grande racine et par e, la plus petite.

S2>7. Les périodes de pu peuvent s'exprimer au moyen d'intégrales définies. A cet effet figurons les trois lacets qui, partant de Torigine, entourent les points Mi, M,, Msdontnous

FiG. 45

supposerons les affixes e^, e^, e^ imaginaires pour la commodité du dessin. Si Ton pose

intégrales étant prises suivant les droites 0 Mj, 0 Ms, 0 M3. Les périodes seront, par exemple, (n^ 126) :

«»*i = ^Ag — 2Aj== I

dz 2(0. ==2A. — 2A, = I -j^

Si e^, e^f e^ sont réelles et satisfont aux inégalités (24), on aura pour 2b>^ une valeur réelle et pour 210^2 une valeur purement imaginaire. Mais la valeur que' nous venons de trouver pour 2(1)4 semble distincte de celle fournie par la formule (28) ; cette dernière en effet, si Ton effectue dans K (formule 12) les substitutions indiquées au n^ précédent, s'écrit

dz (o, = f ' - (30)

ou, ce qui revient au même,

p{à^ = e^ (30 bis)

Il importe de montrer que ces deux valeurs sont égales. Nous poserons, pour cela, dans la dernière formule

elle devient

/s dt

ce qu'il fallait démontrer.

CMAPITRB X

La substitution (31) transforme identiquement Tintégrale

V(z-eO(^-e,)(;r^(5,)

dans la suivante

Si l'on désigne par u et t; ces deux intégrales prises d'une valeur arbitraire de la variable indépendante jusqu'à Tinfinii on aura

u — 1? = constante = « u = t? ~t- a,

et aussi

t=pv, La formule (31) peut donc s'écrire

On établirait d'une manière tout à fait analogue la formule

{P\^ -h p) — cj (/>!? — e^ = (e, — e,) («, — «J.

Déterminons cette dernière constante p. Pour cela, faisons V = toj ; il en résulte

/(to, H- p) — e^ = 00

^(Wj + P) = 30 .

Donc

p = Wj -h une période

et Fou a ridentilé remarquable

[p{v 4- wj) — e,] [pv - e,] = (e, — e^) (e., — é,) (32).

;• La méthode du n® 317 permet aussi d'élablir la formule d'addition despu^. On verra, dans le chapitre suivant n** 396 que, si Ton pose

réqualion

admet comme intégrale

(^-^^Ey) = c + H«> -^ y)- (34)

D autre part posons

réqualion (33) admet une autre intégrale

11 en résulte, d'après un raisonnement déjà fait, une relation entre C et C

Or on tire des formules (33)

x=pu, y = pVf

GHAPIBRB X

l'équation (36) peut donc s'écrire

Faisons maintenant t; = o^ ; nous aurons (form. 30 bis)

et par suite, puisque

L'égalité (37) devient alors

(ù/-e,y - i(pu ^e,) = f{u^ u),) ou, en remplaçant />'*M par 4 (pu — et) (pu — e^) (pu — e,)

— (e, H- ôj) AM j-£j£j-t-

fil ■ I Mil >wa ^te> *— ■ ■ I ■ ■ ■ .^— ^— — ^— — — ^— i*i— ^^— ^^^

pM — ^j

le numérateur peut donc s'écrire

et la fraction

«1 (pu — ^i) H- (^8 — «,) («2 — «l)»

(g, — e^) (g., — gj />u — gj

La formule (32) donne la valeur de cette expression et Téqualion (38) devient

PONCTIONS ELLIPTIQUES 447

Le signe fonctionnel / se confond donc avec le signe 4^ et 1* égalité (37) peut s'écrire

P{u + v)^pu^pr> = \ {^-^-J • (39)

320* Il résulte du rapprochement des n^ 49, 50 et 327 que l'on peut toujours, sous la réserve qu'il faudra résoudre une équation du troisième degré, effectuer l'inversion d^une intégrale elliptique quelconque de première espèce au moyen de la fonction pu^ et même au moyen de la fonction pu pour laquelle les racines ei, e,, e^ sont réelles. Dans ce cas le discriminant A = /7j' — 27^3* de Téquation

est positif. Mais Ton rencontre souvent des fonctions pu â discriminant négatif; les propriétés de ces deux sortes de fonctions ne sont pas identiques ; il sera donc important de distinguer avec soin les deux cas.

Les séries o

330. L'étude des fonctions trigonométrîques suggère une dernière méthode pour défmir les fonctions elliptiques ; nous voulons parler du développement en séries. Nous avons vu que la série du sinus

ce — r-.r-ï7 -H

admet la période 2it, et que l'on peut constituer des séries possédant une période arbitraire / en remplaçant dans la série

précédente x par "^ . Une fonction rationnelle quelconque du

sinus et du cosinus, l'exponentielle e^ qui est égale à cos x -\i sin Xy une série composée de termes qui sont eux-mômes fonctions du sinus, du cosinus ou de rexponenlielle, admet-

iront encore la période 2-^, ou une période / donnée si Ton effectue la substitution indiquée.

La série qui a été adoptée est la suivante

eu = 2 2 (- i)" /" "* '^' sin (2n 4- i , ^ ; (40, 0 '

elle peut aussi s'écrire

puisque l'on a

Tzu e

sin (2n -h l) «— =

331. La série (40) sera convergente, et même absolument convergente, si le module du rapport d'un terme au précédent a une limite inférieure à Tunité; ce rapport a pour valeur