iu
Pour que la limite soit inférieure à l'unité, quel que soilu* il est nécessaire que le module de g soit inférieur à l'unité. Si Ton pose
et
le module de q sera e~^; la conditioD cherchée sera donc
et nous la supposeronG remplie à l'aveDÏr.
332. En mCme temps que la série su, nous considèreroas, par analogie avec la trigonométrie, les trois séries
6,M = — i?* e^\ e (M + oij) ( (42)
en posant, pour la symétrie de l'écriture,
Un calcul facile montre que l'on a
11 n'entre pas dans le plan de cet ouvrage d'établir toutes les propriétés de ces foDClions 0 ; nous renverrons le lecteur au Prt!cis de la théorie des fonctions elliptiques (*) de M. Lucien Lévy. Nous nous bornerons k donner les théorèmes qui nous seront utiles et qui suffiront pour faire comprendre l'esprit et la portée de la méthode.
(') Avec tablea numériques et applicalions, S36 pages, chez Gauthieb
ViLUBS.
333. La série ^u , étant une série de sinus (fonn. 40), est impaire, c'est-à-dire que l'on a
0 (— m) = — Ow
Les trois autres séries (form. 4i) sont paires ; elles ne changent ni de signe ni de valeur lorsque la variable change de signe sans changer de valeur.
334. Les quatre fonctions admettent la période 4a)p en vertu de leur mode de formation. Mais, et c'est déjà là un incident à noter, les deux dernières (form. 4i) admettent même la période 2(Di.
335. Voyons TefTet produit par l'addition de 2co^ à l'argument t/, et considérons par exemple la série 0 (form. 40). Le terme général se trouve multiplié par
Le facteur constant dcA'ient donc
et le nouveau terme général peut s'écrire
on a donc
0 (m -t- 2wj) ==
On verrait de même que
TtlU
2? tu Tziu
O30. 11 résulte des formules précédentes que les quotients deux à deux de ces fonctions auront deux périodes ifa^ et ita^. Lies fonctions de Jacobi (323) sont données par les formules (*)
sn wv^ ■ en u\^\
les constantes A, B, C sont choisies de manière que, pour u iofiniment petit, les seconds membres aient respectivement pour valeurs principales wy/X, 1 et i.
Le premier quotient a évidemment pour périodes 4(o, et 20)^
ie deuxième 4(0^ et ia)^
et le troisième 2(0^ et iu)^
En fait, les périodes indiquées ici pour cnu ne sont pas primitives et il conviendrait de remplacer la deuxième par 2(0^ + 2u)^. Mais nous n'insisterons pas sur ces détails. Il nous suffit d'avoir montré avec quelle facilité les fonctions 6 permettent, par de simples divisions, de former des fonctions doublement périodiques.
ti37. Ces séries 0 sont extrêmement convergentes, et par suite éminemment propres au calcul. On peut même s'arranger (**) de manière à avoir toujours pour le module de
^ une valeur inférieure à g. Il en résulte qu'en pratique, dans
la plupart des cas, on pourra se borner au premier ou aux deux premiers termes de la série.
t)38. Les séries ô sont holomorphés dans tout le plan. Les
C) Lucien Lévt. Précis, etc. page 42.
<••) Lucien Lévy. PréciSy etc. page 165.
valeurs qui annuleat la première fonction 6 sont zéro et le» sommets des parallélogrammes des périodes
2mj Cl), -H 2 w, u)j.
Que ces valeurs annulent 6, cela résulte immédiatement, pour les points 2mt co^ de la définition (formule 40) et, pour les points 2?ni b>,, des formules (46^ ; mais nous allons montrer que ce sont les seules. En effet, comme la fonction demeure finie dans tout le plan, le nombre des zéros compris à Tintérieur d'un parallélogramme de périodes, dont le contour est Cf est donné par la formule 21 du n^ 128
m = .7-. / D log 9m du.
Mais on a
e (w -r 2a)i) = — ÔM ;
^(u -h 2 co,) e;w
6 (m H- 2 o),) Oi*
et Tintégrale prise le long des deux côtés du parallélogramme qui correspondent à la période 2^^ est nulle. Sur les deux antres côtés, comme l'on a
e (w -f- 2 Wj) = — ^— * e- 1^ Bu, on aura
D log ù(u-{- 2u)j) = -h D log ôw,
la somme des intégrales correspondantes prises de Uq à t/^^ + 2jû', sera 2râ et l'on aura par conséquent
c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un zéro dans chaque parallélogramme de périodes.
Les fonctions de W eierstrass
330« La ponction c Les séries 6 sont périodiques et de plus dépendent d'une seconde constante telle que l'addition de cette constante revienne à la multiplication de la fonction par un facteur de forme exponentielle :
Les fonctions <t {sigma) de Weierstrass, qui leur sont proportionnelles & un facteur près, ont perdu la périodicité ; mais les deux constantes 20)^ et2a>2, quon appelle encore les périodes^ y jouent un rôle symétrique. En outre, elles ont acquis de nouvelles propriétés qui les rendent dminemment maniables.
ou — Ae*"» eu
Ces fonctions sont évidemment, comme les fonctions 0, holomorphes dans tout le plan.
La première condition que nous imposerons aux nouvelles fonctions sera d'avoir^ pour u inRniment petit, la valeur principale la plus simple, savoir^ puisque zéro est racine simple de 6u et par suite de au, pour (ne la valeur u et pour 9au la valeur 1. Or, en développant par la formule de Maclaurin^ on a
e« = 8(o) H- we'(o) 4- >^ 6'(o) -f- ~ 0» + .... (50)
La valeur principale de <ju est donc
Awô'(o),
io* CHAPITRE X
et il suffit de poser
no) •
On aura ainsi les quatre fonctions
/ ^ss)
La fonction crw est impaire, les trois autres sont paires. Pour achever leur détermination, nous choisirons r,^ de manière que, dans le développement de mi suivant les puissances ascendantes de î/, le terme en w' manque. Or on a
.U = A [l 4- ^-- U^ 4- ... ] [t.0'(o) -H j-^-lg. e» 4- ....]
la valeur de r^^ est donc
341. Voyons maintenant quel sera l'effet de Taddilioa d'une période sur ces fonctions, et, pour nous borner, ne considérons que la fonction au. On aura
ô--*-(M+2ta.)»
«7(w-H2co,) = Ac^^i 0(w-4-2(oJ;
donc
De même
jJiJL(M4-2w.j)2 a(w H- 2 co,) = Ae^^i 6{w H- 2 ta,)
= — Ae^"*i e *^i « *-i 0(w),
d'où
<j(u -H 2 a>j) = — e *"* (Tl^
Nous poserons^ pour conserver la symétrie des formules, d'où et la formule précédente deviendra
cr(i^ 4- 2 o),) = — 62^'2(« + «,^^^^ (56)
lout à tait analogue à la formule (5i).
Introduisons maintenant la période 2b>3 et la quantité t^.^ définies par les identités
Wi -t- Wg + w, = 0 (57)
et remarquons d'abord que Télimination de r^^ et Wj entre ces deux identités et Tidentité (35) conduit à la suivante
En remplaçant dans la formule (50) u par v + 2a)i> puis v par u -f- 2 CO3, on voit sans peine que
formule tout à fait analogue à celles qui portent les n®^ 54 el(^6).
