La fonction Çw. — Nous poserons, par définition

Cm = D log an = -"^ (61)

Puisque Ton a, dans le voisinage de Torigine^

OQ aura

= tA^ ^ 5 A.w* -+- ..) (1 — A^u^ H- ...),

ou enfiQ

343. La fonction Cu est une fonction impaire ; il résulta de la déflnition (formule 61) qu'elle admet pour pôles l'origine et les points périodes et que ces pôles sont simples. 11 n'y en a pas d'autres : en effet les formules (6) dun<» 118 montrent que les dérivées d'une fonction méromorphe n'ont pas d'autres pôles que ceux de cette fonction, puisque les seconds membres de ces formules sont évidemment finis. La fonction g'm est donc holomorphe dans tout le plan et Çw n'a comme pôles que les zéros de au.

344. En prenant la dérivée logarithmique des deux membres des formules (54), (65) et (60), on voit que

Ç(m -f- 2 o)..) = Cm -h 2 T,f {i = i .2,3j ; (63;

c'est là une propriété bien curieuse de la fonction Çu de s'accroître d'une quantité constante en même temps que la variable augmente d'une période.

3 15. La fonction />w. — Si l'on prend les dérivés des deux membres de l'égalité (63), on voit que Cw est une fonction elliptique. C'est, au signe près, la fonction />w, dont la déûnition exacte est

/>u = — î'w = — D» log (Tw (64)

PONCTIONS ELLIPTIQUES 457

Nous aurons à établir ridenlité de cette fonction avec celle précédemment déBnie sous le même nom. Montrons auparavant les conséquences immédiates de la définition nouvelle. On aura d*abord

(pu H- 2 o),) =pu (i = i , 2, 3) ; (65)

puis, à cause de l'égalité (62),

pu= ^-- {3Bw* + 5cw* ^- ..)

ou, en changeant de notation,

^« = -54- C|W' -+- CjU* -H ... (66)

pu est une fonction paire, et admet comme pôles doubles Torigine et tous les points-périodes. Elle n'a pas d'autres pôles puisqu'en vertu des formules (6) du n*" 118 la dérivée d'une fonction méromorphe n'a pas d'autres pôles que ceux de cette fonction. La fonction^ est donc elliptique d'ordre deux.