On peut remarquer que la fonction pu est plus que

définie par les propriétés que nous venons d'établir. Si une

fonction elliptique f{u) d'ordre deux, aux périodes 2 c»j et 2(i>g,

qui admet l'origine pour pôle double, peut se mettre, dans le

voisinage de l'origine^ sous la forme

dans laquelle <p(t^) désigne une fonction holomorphe, elle se confond nécessairement avec/>u. En effet la différence ^u — f{u) est une fonction doublement périodique qui ne devient pas infinie dans le parallélogramme des périodes ; c'est donc une constante (n® 322). De plus cette différence, et par suite la constante, est nulle pourt^ = 0. Donc f{u) = pu.

34T« Montrons l'identité de la fonction actuellement définie

458 aiAPlTRB X

avec celle que nous avons rencontrée an n* 326. A cet effet nous allons d'abord établir qu'elle satisfait à une équation diflérentielle de la forme

De l'égalité (66), on déduit

d'où

pu = 5 -+- 2c,u -f- *CjM' -\- ... ;

/'w= ~6 ^ iJï (Sc.w -h 4c,«' 4- ..) -i- (2c,u -^ ..^

Alors la fonction

est une fonction elliptique qui n*a aucun pôle; elle se réduit donc à une constante et Ton peut poser

p'Hi — Kp^u M- 20c,/w = — ^3.

Les deux fonctions que nous avons désignées par la notation pu seront donc des solutions de la môme équation différentielle si l'on pose

9^ = 20ci, 9 3 = 28^2 .

On verra dans le chapitre suivant que cela suffit pour les identifier à une constante près, c'est-à-dire que Ton a déjà, en les distingant pour un instant par un indice,

pu = pju -+- c).

Pour assurer l'identité complète, il suffit d'astreindre les deux fonctions à prendre la niême valeur pour une valeur doaaée à la variable, par exemple pour u = 0.

348- 11 résulte de cette parfaite identité que les propriétés

établies aux u?* 326 et suivants s'appliquent complètement & la fonction actuelle. £n particulier on a la formule d'addition

pt^u ^v)^pu-^pv = \ {^^y s (69)

et

A cause de l'importance de ces formules, nous en donnerons une deuxième démonstration fondée sur la nouvelle définition.