Commençons par la seconde. De Tégalité

p{u -\- 2uy^) = pu,

on tire

et, en faisant u = —

Mais la dérivée d'une fonction paire est impaire, on a donc

et en additionnant les deux dernières égalités membre à membre

Comme on a

p'hi = ip^u — gp^xi — ^3,

ou, en décomposant le second membre en facteurs du premier degré,

^'»w = i(àu — e.) (pti — c,) (pu — tfj), (71)

de l'équs

deux fou

sont ellif pour la ont dans ble, u = peuvent Or, pour leur prin lequel il

PrCDoi

cette forn

En ajoutant (73) et (74) on obtieat la formule d'addition des fonctions !;

et il suffit de prendre la dérivée des deux membres pour avoir une formule d*addition des fonctions p :

P[u^v)-pu^^^^^ [Pp^^y (76)

Ce n*est pas la formule que nous avions en vue ; mais on obtiendrait aisément cette dernière (form. 39) en développant les calculs indiqués par la formule (76) et en lemplaçant

p'^u par ^p^u -- g^ pu ^ ff^ J/u par 6/>*t< — ^j.

Nous laisserons au lecteur le soin d'achever ce calcul qui n'offre aucune difGcullé

35 !• Nous avons observé que les fonctions v^i ^sin^z, V^i -+- iângH étaient uniformes, tandis que les fonctions y/i— i, v/1 — z^y etc., étaient multiformes. Il existe un théorème analogue pour la fonction />M. La fonction >Jpu — e^ est uniforme.

Cela résulte d'abord, au moins pour a == 2, de la formule (27). Nous allons donner une démonstration qui ne suppose aucune hypothèse sur la nature des racines e^^.

Dans l'égalité (72), faisons v = w,, d'où/u = e^ (*). Cette égalité devient

pu — «, = ^ f^ ^.

Mais nous avons vu (n^ 341) que

(•) Nous désignons par c^ la valeur de p(a^ pour la symétrie des notations ; mais les racines peuvent évidemment {n^ 349) être numérotées arbitrairement.