I-e seci à prendn terminé

cipale du

même du

J)ans la

En faiso bre à men le produit

est indépe marquant «t réciproc exemple «:

nule, ain!

constante, ît u la valt il vient

en diîstgni revient au

La lormule (79) généralise la formule (31), Posons pour un instant

A = \I pu — e^ ; «lous aurons

Mais /a ayant, quand u est infiniment petit, -- pour valeur

principale, /a a pour valeur principale — —-^^\,\i laut prendre

le siorne — . Donc

354Ï« Remarque sur la réalité des fonctions de Weibr- STRASS. Si <i), et iwj sont réelles, il résulte des égalités (40) el (41) que la constante q est réelle et que la fonction 6u est réelles pour toutes les valeurs réelles de w. Les égalités (50) et (54) donnent alors pour ju des valeurs réelles, et par suite pu est aussi réelle. La forniule (78), dans laquelle il faut faire a = 1, montre alors que pu est toujours supérieure à ^cD^ qui est son minimum. On peut parfaitement suivre la marche de la fonction pu lorsque u varie de — oo à + oo. Pour n = 0, pu part de l'infini ; p'u commence par être négative et, comme elle ne peut s'annuler qne si u est une demi-période, pu décroit jusqu'à ce que u = ^a^, Puis p'u change de signe en s'annulant, pu croit de nouveau jusqu'à -f- <» qui correspond à u = 2b>j ; ensuite la fonction repasse périodiquement par les mêmes valeurs. On a aussi

/> (o), — ti) = / (u>, + «); car

à (tOj — u) =/ (u — ci)j)

464 GHAPimB X

et les deux arguments u — «o^ et u + u>i diffèrent entre eux d'une période.

Dans la démonstration qui précède, nous avons dit que pu avait pour zéros (n^ 351) les demi-périodes et n'en avait pas d'autres. Cela résulte de ce que j^'u n'a pas d'autres pèles que pu et que ces pôles, doubles dans pu, sont triples dans pu, puisque, par exemple à Torigine,

Or, dans un parallélogramme de périodes, le nombre des zéros d'une fonction elliptique est égal (n^ 326) à celui de ses pôles.

Dégénérescences

353« Dans deux cas particuliers extrêmes, les fonctions elliptiques dégénèrent dans des fonctions connues.

1^ Si le module k tend vers zéro, on voit immédiatement (formule 8) que la fonction snui tend vers sin u^y cfiWj vers cos Ui et dn Ui vers Tuoité. Deux racines e, et e^ tendent à devenir égales ; enQn pu tend vers

2^ Si k tend vers l'unité, S7i Wj tend vers la fraction

qu'on désigne souvent sous le nom de tangente hyperbolique de Wj (*) ; en u^ et dn Wj tendent vers l'inverse du cosinus hyperbolique. Deux racines e^ et e^ tendent encore à devenir égales.

(•) On appelle sinus hyperbolique Texpression

sinhy = g ,

Applications

354. Les applications des fonctions elliptiques sont extrêmement nombreuses. La rectiRcation de l'ellipse, celle des cubiques circulaires sans point double, Taire de Tellipsoide, le mouvement du pendule simple, celui du pendule sphérique^ le mouvement d'un corps Dxé par un point, le mouvement d'un projectile dans un milieu où la résistance est proportionnelle au cube de la vitesse, la forme d*une tige élastique déformée dans certaines conditions, l'intégration de certaines équations différentielles, etc, etc. dépendent des fonctions elliptiques* L'étude complète des cubiques planes^ la démons-

cosinus hyperbolique l'expression

cosh y = — «1 .

Le lecteur yérifiera sans peine les relations suivantes, dont la première exprime que les deux nouvelles fonctions sont les deux coordonnées d'un point d'une hyperbole,

cosh* y — sinh* y = 1 sinh {x + y) = sïtth X cosh y -f sinh y cosh œ cosh {x -\-y) =s cosh x cosh y -\- sinh x sinh y sinh ( — y) = — sinh y cosh ( — y) = cosh y

= sinh X

. \ = sect tang hyp. a? etc.

Il existe des tables de ces fonctions. D'ailleurs ce ne sont pas à pro prement des fonctions nouvelles ; car on a

cosh X = cos ix sinh X = i sin ix.

Ces deux dernières formules permettent de déduire toute la tri^'onométrie relative aux fonctions hyperboliques de celle des fonctions circulaires.

Calcul iipikit<siiial 30

trat* n de cerlaio> lh»^orêmes de géométrie tels, par exemple, qj^ ceux rc!al'.t> aux poîyiron**s de Poncelet, s'effectuent delà miLÎre !a fîu* simple à laide de ces fonctions. Xous nou^ l-j-rcrrons à drux esen'pîes.

/•' Tti^i.'alion d^ P ellipse. — Soit Fellipse

et >: î -.' \a iistm-re fc^cale : on pose

r = « sia 5. V = 6 ces o,

,\<i = fl! ! — A^ sin'o) </=*

<* sin* c d^.

l. r:-çr*If eu se-.^rnd mtnibre est précisément celle que l.-\::n:-^ x c::*>> cmnîe lype des intégrales de deuxième î^: -v"*r- i» r-i: a d rzé s^a n- m à toute cette théorie. Pour K <\. r.:ut r à- m^r- n dtrs fonctions elliptiques, posons

.A f: .::•.:;-,-:. ;*tÂZt «î.rizie [-^r les trois racines

l a <'o\uî >;:r.:!e r^oatre que Tinlégrale précédente se

jf = -e-

FOÎiCTlONS ELLIPTIQUES 467

La formule (79) permet d'écrire

OU enQn

La formule d'additioa des fonctions ; (n** 330) permet encore d'écrire

u est un argument compris entre zéro et to^.

358« Mouvement d^îin solide autour d'un point fixe dans le cas particulier oh les forces ont une résultante passant par ce point.

Soient x, y, z les coordonnées d'un point du solide par rapport à trois axes rectangulaires entraînes avec le solide et passant par le point fixe ; soient o la vitesse angulaire autour de Taxe instantané de rotation, p^ q^ r ses composantes. Nous supposerons encore que les axes de coordonnées coïncident avec les axes principaux de l'ellipsoïde d'inertie et nous appellerons A, B, G les moments d'inertie du solide par rapport ù ces axes. Dans ces conditions^ on démontre en mécanique que les équations du mouvement du solide seront

A^+(C-B)5r = 0 B^-|H-(A~C)rp = 0 \ (81)

Nous poserons

p = aX, q = 6Y, r = cZ,

Ces quatre dernières équations déterminent e^, e,, ^3, c'està-dire la fonction /w, et en outre la valeur particulière /X, d'où Ton déduira X. A vrai dire >^ n est déterminée qu'au signe près puisque

Pi- ^) = / W.

Mais de l'égalité

p = a \/p{t 4- X) — «1 = aX

et des égalités (82) on tire

cfX dp P{^ -^ ^)

dt dt 2 \/p{t 4- X) — e.

j.t\ 2po7^ro^

abc

le signe du produit abc étant connu sans ambiguïté, cette égalité Qxe le signe de X. En se reportant aux formules (84) et en y faisant / = 0, on aura les signes de a et de 6 sans ambiguïté. Toutes les constantes sont connues et le mouvement de Tellipsoïde d'inertie autour de l'axe instantané de rotation est déterminé.

357. 11 reste à étudier le déplacement des axes d'inertie par rapport à un système d'axes fixes OXYZ ayant la même origine. Si l'on désigne par e l'angle ZOz, par OM l'intersection des deux plans xOy et XOY, par <p l'angle ^OM, par ^ l'angle XOM, on voit en Mécanique que ces angles (angles d'Euler) sont donnés par les formules

K sin 0 sin o ==r Ap \ K sin 0 cos 9 = Bg V (85)

K ces e = Gr )

sîn 0 -^^ = jo sin ç H- 5^ cos cp. (86)

En additionnant membre à membre les équations (85) préalablement élevées au carré, on trouve

mais en multipliant les équations (81) respectivement par Ap, B^y Cr et additionnant, on trouve

K est donc une constante.

D'autre part en multipliant les équations (81) respectivement par;», q^ r et ajoutant on voit que

Ap2 ^ 13^2 ^ Cr2 = H, (88)

H étant une autre constante.

Les équations (8o) feront connaître ô et <p en fonction du temps ; multiplions Téquation (86) par K^ sin 0 et remplaçons K sin 6 sin <p, K sin 6 ces o et enlin K* sin' 0, c'est-à-dire K* — K* cos* 6, par leurs valeurs tirées des équations (85). Nous obtenons, pour déterminer ^l', l'équation

si Ton pose encore

d'où

dt du"* la troisième équation (84) donne

r^ = c^[pu — 63),

et par suite l'équation (89) devient

du "~ VJ — &c'(pU'-e^y c'est-à-dire qu'on a la forme

d^ ,^pu^M L(N^M)

L^ M et N étant des constantes faciles à calculer d'après ce qui précède. Or il existe des tables de fonctions elliptiques qui permettront de calculer un argument v tel que

et Ton pourra encore écrire

^"^^l I UN— M) du * pu — pv

ou enfin

^ = Lu -h L(N — M)

/du

Pour effectuer cette dernière intégration, deux cas peuvent se présenter.

1^ V peut être une demi*période coa : ^t? = es. La formule (79) donne alors

et par suite

^lI^=(,p-.,)V^-.,)[-'^fr + '->.)-^."-^ constante]. (91)

2^ Ce cas exceptionnel étant écarté, on pourra employer la formule (74) qui donne

pu — p\)

Finalement, en désignant par R, S, T de nouvelles constantes, 4^ se présentera sous la forme

358. Remarquons que^ d'après (35), Taddition d^uoe période 2(0 à u augmente de 2'r\(u + v + co) le logarithme de 9(u + r; et de 2t,(w — t? h- w) le logarithme de a(w — t?). Donc ^ se trouve accrue de la constante

2Ru> -i-4r,t?S = 2G;

la diiïérence

est donc périodique. Ce résultat est susceptible d'une interprétation géométrique, si Ton y ajoute ce fait que les angles z et 0 sont aussi fonctions périodiques du temps.

Si Ton rapporte le mouvement du corps solide à deux axes 0^1, Oyi qui tournent autour de 0;? avec la vitesse constante

ij^ , le mouvement relatif par rapport à ces axes sera périodique.

350. Nous n'étudierons pas plus longuement ces mouvements qu'on a appelés « mouvements à la Poinsot ». Nous renverrons pour cela aux Traités de Mécanique (*). Nous nous bornerons à énoncer quelques théorèmes qui ne sont que des interprétations géométriques d'égalités établies dans les n*^^ précédents.

Le mouvement du corps s'effectue comme si rellipsoïde d'inertie, dont le centre est fixe, restait tangent à un plan fixe : l'axe instantané de rotation est le rayon mené de Torigine au point de contact, et la vitesse instantanée de rotation est proportionnelle à la longueur de ce rayon.

(•) Voir par exemple le Cours de M. Sarrau à l'Ecole Polytechnique.

FONCTiONS ELLIPTIQUES 473

Le lieu des droites attachées au solide qui sont successivement axes de rotation est un cône du second degré ; Tinterseclion de ce cône avec TellipsoiMe d'inertie a été appelée par P oinsoi polhodie^ c'est-à-dire chemin des pôles.

L'axe instantané de rotation coïncide à chaque instant avec une droite Gxe de Tespace, et le lieu de ces dernières droites est un deuxième cône. Le mouvement peut encore être représenté par le roulement du premier cône sur le second.

ËnGn Poinsot a désigné sous le nom d'herpolhodie le lieu géométrique, sur le plan fixe, des points de contact de Tellipsoïde d'inertie avec ce plan. Létude de cette dernière courbe dépend encore des fonctions elliptiques. Voici comment : soit

1 équation de l'ellipsoïde d'inertie,

A^o?* H- By H- Oz^ = H (•),

l'équation d'un ellipsoïde qui, par son intersection avec le premier détermine la polhodie. Si, aux deux équations pr<5cédentes, on adjoint la suivante

x^ -i-if -^ JS^ = p*,

on pourra calculer les coordonnées a-, y, ;; d'un point M de la polhodie en fonclion de sa dislance p au centre 0 de l'ellipsoïde d'inertie. On trouve ainsi

^B+C—H-^BCp«

^ -(Â-BKC-A)

et deux autres formules^ analogues pour y et z^ par permutation circulaire ; il est facile d'en déduire la valeur de

ds^ = dx^ -h rfy^ 4- dz\

(•) H est le carré de l'inverse de la distance 8 du centre fixe de l'ellipsoïde d'inertie au plan tangent fixe.

tration de certaÎDS théorèmes de géométrie tels, par exemple, que ceux relalits aux polygones de Poncelet, s'effectuent delà manière la plus simple à laide de ces fonctions. Nous nous bornerons à deux exemples.