Rectification de rellipse, — Soit Fellipse

et soit 2c la distance focale ; on pose

07 = a sin o, y = b cos ^, A == - ,

et Ton en déduit

ds^ = «2(1 — k^ sîn'o) df ou

L'intégrale du second membre est précisément celle que Legendre a choisie comme type des intégrales de deuxième espèce, et qui a donné son nom à toute cette théorie. Pour Texprimer au moyen des fonctions elliptiques, posons

- = sm o = .

Vpu — e^ la fonction />w étant définie par les trois racines

Un calcul simple montre que l'intégrale précédente se transforme en

,= a' f f^LlZJ^ du = a-^ f U ^ hJIZli.) du. I pu -- e^ f \ pu — 6^/

La formule (79) permet d'écrire

ou enCn

La formule d'additioa des fonctions C(n** 350) permet encore d*écrire

* 2 pu — e^

u est un argument compris entre zéro et to^

3o6« Mouvement (Tien solide autour cPun point fixe dans le cas particulier oit les forces ont une résultante passant par ce point.

Soient Xy y, z les coordonnées d'un point du solide par rapport à trois axes rectangulaires entraînés avec le solide et passant par le point fixe ; soient o la vitesse angulaire autour de Taxe instantané de rotation, p^ q^ r ses composantes. Nous supposerons encore que les axes de coordonnées coïncident avec les axes principaux de Tellipsoïde d'inertie et nous appellerons A, B, G les moments d'inertie du solide par rapport à ces axes. Dans ces conditions, on démontre en mécanique que les équations du mouvement du solide seront

B|| + (A~C)rp = 0 \ (81)

Nous poserons

p = aX, q = bY, r = cZ,

La première devient

la deuxième

fg = / pudu = —

ît« H- C ;

eDfm la troisième s'écrit

/du pu — pa ♦

si l'on introduit l'argument constant v tel que

pv = a, on obtient l'expression

/du pu — pv

qui a été intégrée au n® 337 et qui dépend en général, ainsi qu'on Ta vu, des fonctions ^.

301. Plus généralement, on sait intégrer toute fonction rationnelle de pu. En effet traitant d'abord pu comme une variable, on peut décomposer la fonction rationnelle en une somme de fractions du type

(pu - pvr

et en un polynôme

Si2=ip nous venons de voir qu'on sait intégrer la

fraction z . ; on aura, par exemple, si t; n'est pas une

demi-période,

du i , ^(u -h ») . o Wï^

= — TT log -7 ( -h 2

pu — pv pv ® <j(u — v) pv'

En différcntiant les deux membres de cette égalité par rapport à t) une fois, deux fois, etc., on obtiendra Tintégration voulue.

Reste à intégrer les monômes tels que {puY^ et que nous écrirons, pour simplifier, p^. A cet effet remarquons d'abord que l'identité

différentiée donne

Différentions deux fois cette égalité, et du résultat éliminons ^* et ^^ à l'aide des identités précédentes. Nous trouverons

P'^-^^oé-^Y^gz^-^Qf (93)

En différcntiant de nouveau deux fois la formule (95), on obtiendra p^ en fonction linéaire de p et de ses dérivées, puis ^*, et ainsi de suite.

36%. Une dernière question se pose. Est-il possible d'exprimer toutes les fonctions elliptiques à l'aide de celles que nous avons fait connaître? Le génie d'Hermite a fourni la réponse, en donnant le moyen de décomposer toute fonction périodique en éléments simples. Voici comment.

478 CHAPITUE X

Soit f{u) une fonction elliptique, aux périodes 2w, et 2(.s., ayant dans un parallélogramme de périodes les f ùlesû,i, t..,. et telle de plus que dans le voisinage de chaque pôle le développement de la partie infinie soit connu. On aura, par exemple, aux environs du pôle a,

/ W — / ^-a -^ 7 xx~T -H .-. -H -h partie entière,

aux environs du pôle 6,

^("> =-- (ii^r^^ + 'ï^ïf— + - -^ '^s + !«'«« «"«■^-

etc.

Considérons la fonction

Elle est elliptique : en effet comme les dérivées ç', f,.. ?' de ç sont, au signe près, égales à /> et à ses dérivées, c'esl-àdire sont doublement périodiques, comme de plus on a, en désignant par 2to une période,

Kiu — k-h 2u)) = ;(w — k) -^ 2t„ on aura

<r(H -h 2to) - cp(w) =: 27i(A„^j -hBp.i -+- .4

c'est-à-dire (n^ 323)

o{ie -H 2 co) — o(w) = 0.

£n outre, dans le voisinage du pôle a, on a

Uu — fl) = H partie entière

^ ' {il — ay

et par suite