Voici maintenant quelques propriétés évidentes du nou
DBS INTEGRALES INDEFINIES 3
veau symbole dans lequel nous supprimerons, pour la rapidité de récriture, l'expression différentielle /'(a)rfa. Soit
f Z > c > & > a ; on aura
5. Si, dans la définition de Tintégrale définie^ on change le signe de toutes les différences Xi^^ — x,, on voit immédiatement que
6. Il résulte des n»' 3 et 5 la dérivée d'une intégrale définie par rapport à sa limite inférieure :
^ / f{x)dx = - /-(a) (6)
V« On a encore évidemment
/ [a f{x) -+- Bo(a;) + 0)^x) + ...]
dx
/pP /ni)
f{x)dx -+- B / ^{x)dx -+- C / ^{x)dx
A, B, C... étant des constantes. Et la relation subsiste pour les intégrales indéfinies, à condition d'ajouter au second membre une constante arbitraire, puisque, pour passer à l'intégrale indéfinie, il suffit de rendre variable la limite supérieure.
Théoi^ines de la nioyeiinc
8. Soit M la plus {grande et m la plus petite des valeurs que peut prendre la louction f(x) entre a et b. Comme on a évidemment, en supposant a:; ^. , > X;,
M(Ji + , - x) > /(ÎO (rc^. , — a-i) > ^{^^+ , — ^')on aura aussi f = n— i
V M{:ri + , - ^^ > 2 m {^i i- . - ■'T) > 2 "'f-^* + ■ - '^')-
c'est-à-dire, en supposant 6 > a,
Si, comme nous l'avons suppose, la fonction f{x) est continue, le produit {b — a) f{x) passe par toutes les valeurs comprises entre m{b — à) et M(6 — a) el, en particulier, il y aura une valeur f do x comprise entre a et b, telle que l'on ait
C'est dans cette dernière égalité que consiste le premier théorème de la mot/enne; elle suppose essentiellement, rappelons-le, î compris entre a et b.
Si l'on désigne par F (x) une fonction primitive de f(x), régalîtc5 (7) peut s'écrire
V(l,) F{«) = {b- fl)F'(;) ;
on retrouve ainsi le théorème des accroissements finis (t. I, n^ 37).
9. Considérons maintenant une fonction ^{x) qui reste positive pour toutes les valeurs de œ comprises entre a et b, et conservons les notations du numéro précédent; on aura encore
En faisant la somme de toutes les inégalités analogues pour t = 0, 1, 2... n — 1, et passant à la limite, comme le veut la définition de l'intégrale définie, on trouve
o(œ)da) > / /"(a:) ^{x)dx > m j ^{x)dx.
On peut encore écrire, pour les mêmes raisons qu'au n" 8
/ «P(^) f{p)da: =
/-(S) / ?(«')rf^. (H)
l étant compris entre a et 6. Nous donnerons à cette égalité le nom de second théorème de la moyenne (*). Ainsi l'intégrale
dv
dans laquelle on suppose x et A-' inférieurs à l'unité, est égale à
^1 / dx
{*) On réserve souvent ce nom à un théorème un peu plus compliqué, dû à 0. Bonnet, dont nous n'aurons pas à faire usage.
c'est-à-dire à
arc sîn œ
On peut encore écrire, en remplaçant J par zéro et par un , successivement,
arc sîn x <
dx arc sîn .r
Objet du calcul intégral
iO.Le calcul intégral a pour objet de déterminer les intégrales indéGnies connaissant leurs différentielles, de calculer les valeurs des intégrales déOnies, môme dans les cas où l'intégrale indéfinie ne peut (^tre obtenue, d'étudier les propriétés des intégrales indéfinies lors môme qu'elles ne peuvent être exprimées à l'aide d'aucune fonction antérieurement connue, d'étendre cette étude au cas où la variable devient imaginaire. Des problèmes analogues se posent avec plusieurs variables. On sait encore déterminer certaines fonctions, connaissant une relation dite équation différentielle, entre la fonction et quelques unes de ses dérivées, traiter le même problème lorsque plusieurs fonctions d'une variable sont reliées par un môme nombre d'équations différentielles, étudier une fonction de plusieurs variables étant donnée une relation, dite équation aux dérivées partielles^ entre ses dérivées de divers ordres par rapport à ces variables, s'élever enfin au cas de plusieurs fonctions satisfaisant à un système d'équations aux dérivées partielles. Chemin faisant, nous rencontrerons d'autres recherches suggérées par les problèmes dont il vient d'ôlre question. Ce. premier chapitre sera consacré à la recherche des intégrales indéfinies qui peuvent s'exprimer à l'aide de fonctions anté-
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rieurement connues, c'est-à-dire, au fond, à la recheixhe des (onctions primitives ; nous écrirons
f{pc)dx
au lieu de
le changement de la limite inférieure n*in(luant que sur la constante arbitraire qui doit être ajoutée à la fonction primitive.
Extension de la notion d*lntégrale déflnie
1 !• La fonction f {x) a été, jusqu à présent, supposée continue et bien déterminée. On peut, dans une certaine mesure, supprimer la première condition. D'abord, il est évident que f{x) peut avoir un nombre fini de discontinuités dans le champ de l'intégration. Supposons, en effet, que pour x = x^^ fix) saute brusquement de la valeur pB à la valeur pC, l'élément de la 1
somme (1),
