Considérons, par exemple, la fonction elliptiqae

elle admet comme pôles doubles les pôles u = 0, et u=— r{'). On aura donc, d'après la formule d'Hermite,

r{u) = - Aï'm -i-A^^u — Bî'(w -f- i?) -H BiÇftt -h r) + C.

Pour déterminer ces cinq constantes, il faut avoir le développement de f{u) dans le voisinage de chacun de ses pôles. Autour de u = -* V, on aura

pic — pv / . \r j^f u-^^Mf . 1

^ ^ {u-hv^—p'v-] — j—pv-^...A

f^^^^ = (u + vY "^ P*''^'® entière.

DoncBi=0, B = l.

Comme la somme des résidus est nulle, A, = 0 : on a d'ailleurs, aux environs de w = 0,

pu — pv = -^ — i>v -\- c^u^ -h ...

P'U — p'v = 5 — ^ t? -f- 2 CjM -h ...

(P^jzLpY = A (- 2 - uYv + ...y (i - u> -h ..)

\pii — pv / u^ ^ ^

= -4 (4 + 8 w*/>t? -4- ...) /(w) = -j H- 2^iî 4- termes ayant u en facteur.

(•) Le point u = r n'est pas un pôle ; car la vraie valeur de la frac iion, pour m = r,

n'est pas infinie.

FONCTIONS £LLIPTI<

On aura donc, au voisinage du poi On en tire

et fiaalemeat, en rempiaçaDt f{ii) et 1< valeurs.

C'est la Tormule d'addition de la foi deux autres méthodes.

304. Il existe d'autres modes de < tious elliptiques. Par exemple, si l'on logramme les zéros a,, a,, a, .... «a e dislÎBcts ou non, de la fonction /"(«), « la forme

A étant une constante; c'est ainsi qt formule (72).

On peut ealin exprimer la fonction de ses dérivées. La méitiode est la mj jours à constituer une fonclioii eUip p6les et les mêmes zéros que la fonctii si'qucnt, ne pouvant en différer que p< Ainsi, si f{u) est paire, on pourra posi

{pu — pa) (pu — pa,

* {pu — pf>,) {/m — pb^i

les zéros étant ± a,, ± a, ... ± «o» et ± &„. Lesz(!ros peuvent d'ailleurs être il en est de même pour les pôles. M doivent essentielle me ni être des points

ClLCIL InFUtnéBIHAL

19 que I >sera

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DéOnilions — Intégrale g^énérale

365* On nomme Equation différentielle à deux variables toate relation entre ces variables a: et y et une ou plusieurs dérivées de y par rapport à x. L'ordre le plus élevé de ces dérivées est» par déGnition, V ordre de réqualion différentielle.

L'équation du premier ordre a donc pour type général

On peut toutefois, théoriquement, la supposer résolue par rapport à j^ > c'est-à-dire ramenée à la forme

il = /(^. y) ; (2)

nous admettrons d'ailleurs que le second membre f{x,y) est continu tant que x et y restent Tun et l'autre compris entre certaines limites.

Cela posé, soient x^ et y^ des valeurs prises à volonté entre les limites prescrites : il existe une fonction F(x,^o,y<,) et une

seule, se réduisant à y^ pour a? = j?^ e/, en outre^ telle que réquation (2) soit satisfaite lorsqu^on pose

C'est Cauchy qai a, le premier, démontré rigoareusemen cette proposition fondamentale. Après lui, plusieurs géomètres (Briot et Bouquet, Picard) ont donné, du même théorème, des démonstrations qui, quoique moins compliquées, n'offrent pas encore un degré de simplicité suffisant pour être reproduites dans notre ouvrage.

L'équation (3) est dite Yintégrale générale de l'équation différentielle proposée (l) ou (2) (*).

366. Supposons que, par un procédé quelconque, oo ait obtenu entre les variables^ et^ et une constante arbitraire C, une relation

telle que les expressions qu'on en tire pour y et j* vérifient

l'équation (2). Cette équation (4) coïncidera avec l'intégrale générale (3) ; car, si l'on détermine C par la condition ?(^o»yo»C) = 0, la valeur de y tirée de (4) se réduira à y^ pour

X = Xq»

367* En différentiant l'équation (4) par rapport à x, on obtient

^{x, y, C) ft?(a?, y, C) dy^Q

d'où

ôo

?fV = — ?? . (5)

dx ôo

{*) Sans entrer dans dés détails difficiles, on peut se rendre compte, par un simple aperçu, de l'existence de l'intégrale. En effet, on conçoit que, les valeurs initiales x^^^yQ des variables étant fixées, Fégoation (2) fera correspondre à tout accroissement cLc un accroissement dy bien déterminé, au moins tant que, en cheminant ainsi par accroissements successifs, on n'aura pas atteint certains points singuliers /pont lesquels

y^ est infini ou indéterminé.

uX

Eu général, cette expression de ^ contient la constante C ;

elle ne saurait donc coïncider avec l'expression (2) qui, provenant immédiatement de l'équation différentielle proposée (1), ne renferme pas C. Mais il y aura évidemment identité entre (o) et (2) si on remplace, dans (5), C par l'expression

qu*on déduit de (4), ou, en d'autres termes, si l'on élimine C entre (4) et (5).

Ainsi^ Véquation différentielle résulte de Vèlimination de C entre r intégrale générale et sa dérivée par rapport à x.

Intcg^rales particulières et solutions singulièires

368* On nomme intégrales particulières celles qu'on obtient en attribuant des valeurs déterminées quelconques à la constante arbitraire C qui figure dans l'intégrale générale.

3G9. L'équation différentielle (2) admet-elle d'autres solutions que la fonction y définie par la relation (4) ?

Pour répondre à cette question, rappelons que Téquation différentielle (2) résulte (n^ 367) de l'élimination de C entre (4) et (5). Cette équation différentielle peut donc être remplacée par les deux équations simultanées

o\iy et C sont deux fonctions inconnues de x.

Si Ton différentie, dans cette hypothèse, l'équation (4) par rapport à t, on a la relation

ôx ôy rfo; ôC rfo?

ou

dy

ô<p dx

ôy

qui, à caufie de (5), devient

ax d^

Le système formé par (4) et (5) équivaut au système formé par (4) et (6) ; et, tout se réduit à trouver deux fonctions y etC de X propres à vérifier ce dernier système.

Or, l'équation (6) se décompose dans les deux suivantes

Ë = » Pi

L'équation (7) donne C = constante, ce qui reproduit Tintégrale générale. Les autres solutions ne peuvent donc être fournies que par l'équation (8) qui, jointe à (4), détermine y et G. On obtiendra la fonction y en éliminant G entre (4) et (8); cette fonction qui ne renferme pas de constante arbitraire reçoit le nom de solution singulière^ à moins cependant qu'elle ne soit une intégrale particulière, c*est-à-dire à moins qu'on puisse la déduire de l'intégrale générale en particularisant la constante.

370* Quelle que soit la forme sous laquelle on prenne l'intégrale générale, l'application des règles précédentes doit nécessairement conduire aux mômes solutions.

Lorsque l'équation (4) est résolue par rapport à y, la relation (8) se réduit à ^ = 0 puisqu'on a alors ^ = ^ •

Plus généralement, V élimination de C entre les èquatimi

ç(a?,y,C; = 0, et ?J = 0 (9)

do7inera toutes les solutions singulières^ si la dérivée parlielk -^ reste finie lorsque les quantités dont elle dépend conservent

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU TREMIER ORDRE i87

des valeurs finies ; c*est ce qui a liea quand ?(jr, y, G) est une foDctioD bien déterminée et continue de x, ij, et C.

371. Supposons que x et ^ soient les coordonnées reclilignes d'uD point quelconque d'un plan. Désignons par A la ligne représentée par la solution singulière et par B, B', B' ... les lignes représenlécs par l'intégrale générale dans laquelle on fait varier C d'une manière continue. D'après une règle connue, l'enveloppe des lignes B, B', B',... s'obtient en éliminant C entre l'intégrale générale et sa dérivée par rapport à G ; mais c'est précisément le calcul qui fournit l'équalion de la ligne A. Donc, la ligne représentée par la solution singulière est t'enveloppe des lignes représentées par l'intégrale générale.

372. Voici des exemples de la détermination des Bolulions singulières :

1° En éliminant C entre les relations

Cette équation diiTérentielle admet donc comme intégrale générale

y — C{x~cy (M)

C étant une constante arbitraire.

La seconde des équations (9) est ici

Ed éliminant C, d'abord entre la relation {il) et x= C, puis entre (il) etx= 3C, on obtient respectivement les équations

■ '^T^rXrl

La première (12) est une intégrale particulière qu on déduit de IMntégrale générale en attribuant à la constante C la valeur zéro.

La seconde (13) est une solution singulière, car il est impossible d*attribuer à G une valeur constante propre à rendre identiques les seconds membres de (11) et de (13).

2^ En éliminant C entre les relations

(^-.C)«+2/« = RS x C + yg = 0 on obtient

Cette équation différentielle admet donc comme intégrale générale

{ce - C)« H- y« = R», (U)

G étant une constante arbitraire et R un nombre donné. La seconde des équations (9) est ici

et en éliminant G entre (14) et (15), on obtient la solution singulière

L'intégrale générale (14) représente un cercle de rayon donné R et ayant pour centre un point arbitraire sur l'axe du j: ; la solution singulière (16) représente le système de deux droites parallèles à Oa:, situées de part et d'autre de cet axe, à une distance égale à R. Or, ce système de deux droites est évidemment l'enveloppe des cercles définis ci-dessus,

373. Nous allons maintenant abandonner les généralités sur les intégrales des équations différentielles du premier ordre à deux variables et nous occuper de la recherche àects intégrales.

Les types des équations différentielles de ce genre que Ton sait intégrer sont fort peu nombreux. Nous allons les considérer successivement.

Lorsqu*on dit qu'une équation est iniégrable^ on entend en général par là qu'elle est réductible aux quadratures ; c'est ainsi que nous l'entendrons, au moins provisoirement. Nous verrons plus loin l'extension qu'a prise de nos jours le sens du mot intégrable.

Équations aux variables séparées Equations homogènes

374. « La séparation des variables », ditLagrange, « est a regardée avec raison comme un des meilleurs moyens que « les Géomètres aient imaginés pour intégrer les équations « différentielles du premier ordre. En effet, il est clair que « lorsqu'on a séparé les variables dans une équation, on peut « alors regarder chacun de ses membres comme une différen- « tielle particulière qui ne contient qu'une variable ; de sorte c( qu'il n'y a plus qu'à prendre séparément l'intégrale de l'un « et de l'autre membre, en y ajoutant une constante arbitraire. »

Ainsi, soit le type

XY^rfo? + XjYrfy = 0, (17)

où X et X| sont des fonctions de x seul et Y et Yi des fonctions de y seul. En divisant par Xi Yj on obtient l'équation

o- f /a? -f- y- c?y = 0 où les variables sont séparées ; on aura donc

^ dy = coDstanle (18)

pour l'intégrale générale de l'équation (17).

. On intè, ]ire les éqi

onduit Ji V les variai

Il ion (lU)

égranl Véi , on obllei

nfin, t'éqi

■oil que ' bomolhéli sment, toi l'origine, iremier o.

iqucs, au:

i,"f " ^W«'V •'".■fv

sont parallèles. Donc, pour les courbes ea question, le coefficient angulaire -^ ne dépend que de ^ et par suite Téqualion dilTérentielle à laquelle elles satisfont est de la forme

dx

376. Un changement de variable permet de ramener aux types précédents, et par suite, d'inlégrer l'équation

dx ~ ^\a'x -+- b'y 4- c'/* ^ ^

Si le déterminant ^^n ah' — bal est différent de zéro, on posera

ao? -h 6y -h c = r, a'x -\- b'y 4- c' = w, (25)

d*où

adx -+- bdy = dv a'dx -h b'dy = du,

et, par suite,

dx= -jr {b'dv — bdu\ ff y = - {adu — a'dv), (26)

En vertu des relations (25) et (26), Téquation (24) devient la suivante

[« + *? (y] du - [a' + h'o (yj dt> = 0.

qui rentre dans le type (19) des équations homogènes et que l'on sait par suite intégrer.

Si A est nul et si Tun au moins des éléments de ce déterminant, a par exemple, est différent de zéro, on posera

eue -+- by -h c =^ i\ (27)

d'où résulte, puisque a n'est pas nul,

dx = * (dv — bdy). (28)

D'ailleurs, en rein|

tirée de A = 0, on

Dès lors, en vei difTérentielle (24) (

où Ton désigne p{

et dans laquelle le dans toutes les éq ne (îgure que par Enfin, si tous U nais, le second m (24) devient une c

où c est une consl

Équallo