Une équi linéaire lorsqu'ell :i^- ; elle est donc

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PnBMlBR 0RDB8

OÙ P et Q BODt des fooctioas de la variable iadëpendaii Pour intégrer cette équation, od pose

y = uv, 1

.u et V étant deux fonctions auxiliaires de x ; puis, on sp l'une de ces fondions, v par exemple, de manière à slnij l'équation dilTéreatielte.

Eu égard k la valeur (32), l'équation (31) devient

Si l'on détermine alors v par la condition d'annuler 1 renlhëse, c'est-à-dire de satisfaire à la relation

l'équation (33) deviendra

dx ^

Or, dans (Si), les variables se séparent immécliatemen a, en elle),

'^I + Pdx =^ 0.

d'où, en intégrant,

et, par suite

ÉQUATIONS DIPFÉRlfMTIULLtS DU PREMIER OHDRIÎ 49^

et enfin

2» Soit encore On a

e" . xdx = {i —x)e' -h c

y = 1 — a: + ce ' 3° Soit enfin

Oaa

/j j / adx ax

et, par suite

y := aa: + c v't -1- a:'.

3T9* On nomme Equalton de BemouiUi, l'équation

*+Pj = Oj-, (39)

496 GlIAriTRB XI

dans laquelle P et Q désignent des fonctions de a: et n une constante.

Pour Tintégrer, on divise d*abord par y", ce qui donne

y di'^'^y -

j puis, Ton pose

; d'où

y-'^dy^dz

L'équation différentielle proposée se trouve ramenée aioii à la suivante

que Ton sait intégrer puisqu'elle est linéaire (n^ 377).

380. On peut rattacher au type 39 les équations différentielles de la forme

Pj cfa? -h P, rfy 4- Q (a?rfy — ydx) = 0 (W)

où Pj et P» sont des fonctions homogènes de degré ;? et où Q est une fonction homogène de degré q.

Comme on a

si Ton pose

d'où

dy = xdv -t- vd.c, œdy — ydx = x^dv^

ÉQUATIONS 01FFÉRBNT1BLLBS DU PREMIER ORDRE 497

réqualion proposée devient

a:P<9 (v) dx -h x'^^ (v) (xdv + vdx) -h a?« + M (v) e/v = 0.

On peut d'ailleurs l'écrire de la manière suivante

dx ^ (y) , e (r)

do'^^{v)-^v^{v)^'~ <p (y) -f- v^ (v) ^ '"^''

et, sous cette forme, on reconnaît une équation de Bernouilli (3»).