Citons encore Téquation
— (b-+-b''X'hb'y)dy'h(c-¥-c'x-hc'y)dij = 0 \ (**)
étudiée par Jacobi et dans laquelle a, a\ a\ 6, 6', h\ c, c' c' sont des constantes données.
La substitution
OÙ X et Y sont de nouvelles variables et a el p des constantes indéterminées, permet défaire rentrer cette équation de Jacobi dans le type (40), à condition de déterminer a et p de manière à satisfaire aux relations
g -t- fl'g -t- g'p b -hb'oL-h b"? __ c h- c'a -+- c"p
Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer ce calcul, qui, quoique un peu long, ne présente pas de difficulté. Nous ferons seulement observer que pour la résolution du système (42), il est commode d'introduire une troisième mconnue X, valeur commune des rapporls (42). Alors, en éliminant « et p entre les trois équations qu'on obtient en égalant àX chacun des rapports (42), on tombe, pour déterminer X, sur Téquation du troisième degré
CaLCOL IHFIHITBSIMAL OO
498 CHAPITIIV XI
0U9 en développant ce déterminant,
[a {Vc' — c'V) -f- ft (c'a' — d(f) -h c (cV — a'c")] =0 ;
^ étant connu, on aura a et ^ à Taide de deux des trois équations dont nous venons de parler.
Équation de RIccaii
382. On nomme équation de Riccati l'équation dont le type général est
^ = ?(^)-+-'K^)y-+-e(a?)yS (43J
quoique le savant italien n'en ait traité qu'un cas particulier. £lle possède d'intéressantes propriétés qui ont été Tobjet des recherches de plusieurs géomètres et notamment de M. Darboux dans ses Leçons sur la théorie générale des surfaces.
Cette équation (43) ne change pas de forme quand on tait subir à y une transformation linéaire» c'est-à-dire lorsqu'on substitue à ^ la variable z délinie par la relation
où P, Q, R, S sont des fonctions de x telles que PS — RQ soit différent de zéro.
En effet, si l'on remplace dans (43) t/ par sa valeur
tirée de la relation précédente, on tombe sur Téquation
dz Q^ (œ) -t- 6, (ai) ;g -4- 6, (x) z^
dx— ^ PS — au
qui est encore une équation de Riccati.
EQUATIONS DIFFKRENTIKLLES DU PREMIER ORDRE 499
3S3. L'équation de Riccati se ramène à une équation linéaire, dès qu'on en connaît une solution particulière y^. En effets si l'on pose alors
2/ = yo + -. (44)
d*où
dx 11^ dx dx '
l'équation (43) devient
Le premier membre est nul puisque ^o ^st une solution et la transformée de (43) se réduit à
2^ -^ « [4^(0.) -+- 2yo 0 (^)] 4- 0 (a;) = 0. (45)
C'est une équation différentielle linéaire et du premier ordre dont l'intégration (n® 377) dépend de deux quadratures.
384. Si l'on connaît une seconde intégrale particulière y = y^ de l'équation (43) et si l'on désigne par u^ la valeur correspondante de u, cette valeur u^ sera une solution particulière de réquation (44). On aura donc
^^1 +u, [^(œ) -+- 2y, 0(x)] + 0 (:r) = 0 et^ par suite, en retranchant cette relation de (44),
^i«^LΣil + („ u,) [ii (.r) -^. 2y, 0 (x)] = 0,
jjQQ CHAPITRE XI
On en déduit en intégrant
w — w^ = Ce-«, s= I l^{x)-i-2y^^{œ)']dx;
mais la formule de substitution (4i) donne
u = Wi = ;
y — Vo Ui — yo
et, par suite, l'équalion de Riccati a pour intégrale générale
où C est une constante arbitraire, et où z désigne I expression
['H^)-^^yoH^)]d^' {*')
On voit que, dans ce cas, l'intégration n*exîge qu'une seule quadrature.
tl85« Enfin, supposons qu'on connaisse trois solutions particulières y^, yj, y^. On a alors, comme dans le cas précédent,
-y -/ ^ \yO Vî/^ >
et, en divisant membre à membre cette relation et la relation (iG), on obtient, pour l'intégrale générale de l'équation de Iliccate, l'expression
y.^ZJb : y^^::Lyi := constante
y — yi yi — yo
qui ne contient aucune quadrature.
;oi
386. Abandonnons maintenant le type général (43) et nsidérons Téanation différentielle
considérons l'équation différentielle
du
dx
H- hu^ = c^, (48)
traitée par Riccati et où ô et c sont des constantes données. En posant
on obtient, au lieu de (48), Téquation
à laquelle nous substituerons Téquation un peu plus g<5nérale
a désignant une nouvelle constante.
Nous allons étudier particulièrement ce type^ qu'on déduit de (43) en y faisant
?(^) = CJ?*»- S \{x) = |, 6(0?) = — |,
