Le premier type de ce genre est
les variables a; et ^ ne Bgurant pas alors dans Téquation.
Soit a Tune quelconque des racines de l'équation F{z) = 0; on satisfera à Téquation (53) en posant
dx d'où, par intégration,
y = aj? -I- C, C désignant une constante arbitraire. On tire de là
œ et l'on a, par suite,
pour rintégrale cherchée.
Exemple : soit
itî-"' (»)
l'intégrale sera
("^ J =a' ou y = ± ax -[- C
Ici, comme Téquation (54) est résoluble par rapport à -j^, on
aurait pu procéder autrement. L'équation (54) se décompose en deux
dy du
d'où^ en intégrant,
y — ax — C = 0, et y -^ ax — C = 0
C et C étant des constantes arbitraires. Ces deux solutions de l'équation différentielle proposée (54) sont renfermées dans l'équation unique
{y — ao? -+- C) (y H- oj? H- C) = 0
Mais, comme les deux facteurs de ce produit doivent être égalés séparément à zéro, on peut représenter les deux constantes par une même lettre en sorte que l'intégrale sera
[y — ax -h c) (y H- a -h c) = 0,
ou
30 !• Nous allons considérer maintenant les équations diffé-
dxi rentielles qui ne contiennent^ outre la dérivée -^- = p, qu'une
seule des deux variables x et y.
l" Soit le type
Si l'on sait exprimer x et ^ en fonction d'une variable auxiliaire u^ par deux équations
formant un système équivalent à Téquation proposée (35), on aura
et par suite
y= I ^Mà?{^
ou encore, si l'on veut.
c désignant une constante arbitraire. L'élimination de u entre (37) ou (58) et J7 = ç (u) donnera l'intégrale générale.
Nous signalerons deux cas principaux <>ù or et ^^ s'expriment
en fonction d'une variable auxiliaire m. Dans le premier,
l'équation (53), dans laquelle x et ^^ sont considérées comme
les coordonnées cartésiennes d'un point, représente une courbe
unicursale ; nous dirons, pour abréger, que la relation (33)
dji est du genre zéro. On sait alors (tome^•^ n** 385) que^et^.
s'expriment en fonctions rationnelles d'une même variable. U
ÉQUATIONS mPPÉnENTISLLBS SU l'REMlER ORfiRB SO'
furmule (57) ne conduit par suite qu'à l'intégration d'une lonctîoa rationnelle.
Dans le deuxième cas, l'équation (55) est du genre un. On
a vu que, dans ce cas, ^ et j^ s'expriment rationne par des fonctions elliptiques d'un même paramètre. L' tion (o7) peut donc encore être effectuée jusqu'au Dans le cas où l'équation (5o) peut éLre résolue par à X, c'est-à-dire est de la lorme
le système (36) devient, en prenant p pour variable au
et l'on obtiendra riat^grale clierchée en éliminant « = /(p)et
2'*3oi'- le type
Si l'on sait exprimer y etJf en fonction d'une ^ auxiliaire u, par deux équations
formant un système équivalent k l'équation proposée (i aura
d'où
Puis, rélimination de u entre cette équation ety = ^ (u] donnera l'intégrale générale.
Nous devons encore, comme ci-dessus, signaler les deux cas remarquables où la relation (GO) serait du genre zéro oa du genre un. Dans le premier cas Tintégration s'effectue à Taide des seules fonctions élémentaires, dans le deuxième cas à l'aide des fonctions elliptiques.
Dans le cas où Téquation (60) peut être résolue par rapport à y, c'est-à-dire est de la forme
__ ffdy
le système (61) devient, en prenant p pour variable auxiliaire, L'intégrale générale résultera de l'éliminatioa dej> entre
y = /(p)et
,.rm
dp -hC.
Les deux types (SS) et (60) étudiés dans le numéro précédent peuvent être ramenés l'un à l'autre en prenant la fonction pour variable indépendante et inversement. Il eût donc suffi de se borner à traiter l'un des deux cas.
Celle remarque ne s'applique pas seulement au numéro 391. En général, suivant que l'on prend a: ou y pour variable indépendante, l'équation différentielle change de forme et se
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE o09
prête avec plus ou moins de facilité à rintégration. Par exemple, l'équation
[^<p(y)-H/'(y)]^| = Hy),
devient, lorsqu^on considère x comme la fonction et y comme la variable indépendante,
dy ^{y)~^W
et sous cette forme on voit qu'elle s'intègre aisément puisqu'elle est linéaire (n° 377).
Procédé par difTérentiation.
Équations de Lagrange et de Clairaut
302. Il existe des équations différentielles du premier ordre que Ton parvient à intégrer . à l'aide d'une différenliation préalable.
Telle est V équation de Lagrange
y = x (p(jt>) +- 4^ (p) (63)
où
En différentiant (63), on obtient
^dx = o [p) dx H- \x^' [p) -h ^' (p)] dp = 0, ou
Cette équation est linéaire quand on y considère x comme la fonction et p comme la variable indépendante. On pourra
510 CHAPiTRB XI
donc rintégrer {a? 577), ce qui donnera une relation entre x et Pf et, en éliminant p entre cette relation et Téquation (G3), on aura l'iatégrale de cette équation (63).
