L'équation

plus générale que celle de Lagrange, ne peut que rarement s intégrer en suivant la marche précédente.

En effets en dérivant par rapport à x, on a

^ bx ^p dx'

mais celte équation différentielle du premier ordre eu x et/ n'est plus eu général linéaire et on ne saura l'intégrer que dans des cas fort rares.

Toutefois, si on sait Tintégrer par un procédé quelconque, on aura une relation

où c désigne une constante arbitraire, et il suffira d'éliminer p entre cette relation et Téqualion proposée (65) pour avoir rintégrale de cette équation (65),

30 1. Le procédé par différent iation peut être présenté d'une manière un peu différente :

Soit l'équation différentielle

où p désigne -J^.

dx En dérivant l'équation (66) par rapport à x, on a

ôF ^F du fsF dp ^ .^-

bx f>?/ dx bp dx

ÉQUATIONS DIFFélUNTlBLLKS DU PREMIt^R ORDIIB

Supposoas que cette équation dérivée (67) soit de la

dx

P et Q étantdes fondions de x, y, eip ; ou bien, qu'on la mettre sous cette forme en combinant convenaJ>lemi relations (66) et (67). On aura l'intcîgrale générale de lapn en éliminant p entre cette équation différentielle et la r< Q:= constante; puis l'élimination de p entre (67) et donnera la solution singulière.

Ce procédé permet d'intégrer immédiatement Xéquat Clair aui

y = px -i- i( Ifi).

Par suite, l'intégrale générale est

t/ = (le + + ^C)

C étant la constante arbitraire, et la solution singulière tcra de Télimination de p entre (6<j) et ar -H ^'{p) = 0-

L'équation de Clairaut n'est d'ailleurs qu'un cas pi lier, mais très usuel, de l'équation de Lagrauge.

Equation d'Ciiler