L-hM(«-hy)-+-N(aî«-i-y»)-+-Pd?y-+-Qxy(a?-hy)-hR^y
Six ans plus tard, dans les Mémoires de P Académie de Turin, Lagrange disait à propos de cette découverte : c Cette c intégration est d'autant plus remarquable qu*elle n'est dae « qu'à une espèce de hasard heureux. J*ai donc cru faire un c travail avantageux au progrès de l'analyse que de chercher c une méthode directe pour intégrer Téquation (71).
Voici la méthode de Lagrange :
Posons
—7- = dt, et par suite, -r-- = — dl. (74)
/ étant une variable indépendante dont x et y seront des fonctions.
£n .élevant au carré, on a
d'où Ton déduit, en diiïérentiant par rapport à /,
n dx d*x dX dx
dï d?' ^ôtxdt
9 ^ ^^y o?Y dl/
" Ji dt^ "" dy dt
ou, suppression faite des facteurs communs J^^ -Jr-
Si donc on pose
ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PRfcMlER ORDRE 513
on aura
di' - rf^» + di^ . ..
= p H- Y w -h ^ 8 (m« -h v») 4- 2 ^t/ {li^ -+- 3 v*)
et
di
2 r rfw rf*M /duY dv'^ .^ . « X
du
di
Mais les deux mennbres de cette équation sont respective -
1 fdu\* ment les dérivées par rapport à / de -3, f -^ ) et de fiu + eu*.
On a donc, en désignant par C une constante arbitraire^
l (S)' = C 4- a*e H- en»,
rltt
elenRn, en substituant & ?/, v, -,7 leurs valeurs en x et y,
ccsl l'intégrale de l'équation (71).
Cette intégrale n*est pas rationnelle, toutefois il est aisé de U rendre telle.
Le calcul est un peu long, mais il ne présente aucune diffi-
GaLGUL IIIFIIlITiSIMAL 83
u dv fdx &ij\ fdx djfK f^V [^'lY
ï . di \dt ~^dï)\dl "" "dij "" \dï) "" \dl)
= X — Y = p«; H- ^uv H- r ^v (3w* "+" ^*) "+" À ^^^ ("* "^ ^*)
On déduit de là, en retranchant la relation (79) de Téqua- j
lion (78) préalablement multipliée par v ^^
d^u du dv i ^ \ ^ !^
d'où, en multipliant par -, ^
La marche consiste à effectuer le premier membre, à le seul radical \/X\ qui reste alors, puis à élever an On trouve ainsi, pour I intégrale rendue rationnelle,
.tion (73) dans laquelle les coefticients L, M, N, P, Q, Il
Bur valeurs
ll =
Ol
-2..-JPS + 21'
-Ct +
importe de remarquer que si, dans l'équalion proposée on remplaçait le signe + par le signe — , tout ce que avons dit subsisterait, et l'intégrale serait la relation (80) on changerait le signe du radical \/Y. Quant à l'intégrale ue rationnelle (73), elle ne changerait pas.
)6. Nous devons signaler spécialement deux cas parli-
irs usuels :
Soient
égrale de (71) sera
ÉUUA.TIONB DIFFÂHENTlELtEa DU PREMIER ORDRE
A:* étant une quantité positive et moindre que t ; l'iutiSgra (71) deviendra
aOT. L'intégrale précédente (85) peut se mettre sous autre forme que nom allons établir directement.
L*équation différentielle (71), où X et Y ont leti valeurs peut s'écrire
r y/-^ dx ^ r i/X t
C étant une constante arbitraire.
En intégrant par parties la première intégrale, on a
P et Q étant symétriques par rapport à j; et y.
D'ailleurs laseconde intégrale de l'équation (86) doit s duire de la première en échangeant les variables xaiy; donc
En ajoutant les deux relations préci5dentes, on obtien qualion
qui, en vertu de l'équation dilTéreuticllc proposée, se réd
ol6 CHAPITRE XI
G*est la forme de Tiniégrale que nous voulions faire connaître.
La constante G' est la valeur que prend y pour j: = 0. Posons actuellement
dx
d'où
a7 = 5nw, v^l — jc* = en w, /ÏTZ~3F^ = rf^w» et de même
dy
d'où
y =z sn t\ \/] — y« = en r, v^F — yt* y* = dn v. Nous aurons, en vertu de l'équation différentielle proposée,
du -^ dv = 0 d'où
Y étant une constante. Mais, pour m = o, on a a? = o, t? = T» y = 5nY ; la constante G de l'intégrale (87) est donc «ny, cl cette équation (87) devient
/ ^ sn te, cnv dnv -h sn v, en u dn m /oo. snio»sn{u + v) = 1 a-, (.nu)' («»')- ^ '
C'est la formule fondamentale de la théorie des foncti^fl^ elliptiques de Jacobi.
On obtient d'ailleurs facilement, à l'aide des reU cédentcs, les deux autres formules d'addition
, , cnu env — ^lu snv dnu dnv
cn(u + v}= -
, , , dnudnv — k* snu snv cnu en
dn (w -¥■ v) ^ ] rn wt n
