Si, dans les valeurs (8i) de X et de Y, ou

l'équation différentielle

</l — k* si a' <f v'i — k* sin' tu

On peut l'intégrer en la ramenant à la iorme i tioa de Clairaut.

A cet effet, on commence par rendre l'équation i ce qui donne

df* — rftai' ;= A' (sin'u) d<f* — BiD'<îi dut*).

Puis, on fait le changement de variables

£ = cos tii C03 7 T) = sin u> sin f,

k l'aide duquel on peut exprimer

dl* — dr,*, et (Wt) — ijrfE}» — dïi'

en fonction de u et de o ; on constate ainsi que le t ces deux expressions est égal à k'. De li résulte l'éq

dV - rfV = *' [(W^i - ^di)» - dV].

OU, en posant 1 — 42 = A'«, et désignant ÏÏ par />,

r,=pî-J/l-A'«l)«

G^est, comme nous l'avions annoncé, une équation de Clairaut. On sait (n<* 394) que son intégrale générale s'obtient en remplaçant^ par une constante. En désignant cette constante par

v/1 — k} sin*fx

et remplaçant Ç et tî par leurs valeurs (92), on obtient pour rintégrale générale de l'équation (91) la relation

ces \L = ces u) ces ç — sin o) sin <p ^i — k^ sin^fx (93)

où \L est la constante arbitraire.

Il serait facile de déduire de là les formules (88), (89), (90 , relatives à l'addition des fonctions elliptiques s/t, cft, dn.

Théorie du facteur intégrant

309. Soient M et N deux fonctions des variables indépendantes X Qiy

Pour que l'expression

Vidx -h Ndy (94)

soit une différentielle exacte, il faut et il suffît (n*' 103} que Ton ait

ÉQTJATI0N3 DIFFÉRENT ISLLES DU PREMIER ORDRE 519

et, si cette condition est satisfaite, la fonction u, doat l'expression (9i) est ta ditTérentiellc totale, est donnée parla formule

dans laquelle G est la constante arbitraire, x^, y^ les initiales de x et y, et enfin Nj la valeur que prend P on y remplace x par x^.

Ordinairement, la condition (94) n'est pas remplie est alors conduit à chercher, avec Euler, s'il existe un Vf fonction de x et de y, propre à rendre v (lAdx + NcJ rentielle exacte. Telle est la question dont nous allô occuper.

400. Théorème. — 1° Il existe toujours un facteur tion d'x et d'y, propre à rendre différentieîie exacte le membre de toute équation du premier ordre }&dx •+■ N

2* // en existe même une infinité, et tous sont de l cf (u), w étant la fonction dont v {Vidx + Ntiy) est la d tielle exacte.

£n effet :

1" Imaginons que l'intégrale générale de l'équatio rentielle

Mrfj! + Nrfy = 0

soit résolue par rapport à la constante c, c'est-à-dire si sous la forme

u étant une fonction A'x et A'y où n'entre plus c. Celle tion est toujours possible théoriquement. Alors c se éliminé par la différeatiation de (1J6) et la relation

au au , e« , n du bx

est identique avec l'équation différentielle proposée ^

On a donc identiquement

Soit V la fonction dx et éTy qui exprime la valeur commune de ces rapports ; on aura

-- =r M», -- = Nr d'où r (Mdx -+■ Sdu) = — rfx -h ~ (^.

= du

ce qui démontre la première partie du théorème.

2* Si V est un facteur tel que v (Mcte -i- Sdy) = du, on aura, <p (u) désignant une fonction quelconque de u.

donc t;<f (u) est encore un facteur d'int(5grabilitéy ce qui monire qu'il en existe une infinité.

Il reste à prouver qu'il n'en existe pas d'une autre for/ne. Or, soit y un facteur quelconque d'intégrabilité autre que t, on aura

» (Mdx -f- Nc/y) = du, V {lAdx -+• Nrfy) = dU d'où

dV = ~du (97)

Cette équation montre que, si l'on fait varier x eïyàe telle sorte que u reste constant, c'est-à-dire qu'on ait du = 0, on aura en même temps d[] = 0 et par suite U restera constant. Il résulte de là que U est une fonction de u ; car, soit

^ = f{^fy)y U = d;(a?, y):

en portant dans la seconde y tiré de la première, on aura

Or, si X restait aussi explicitement dans l'expression de 0,en faisant varier ar et y de façon que u reste constant» U ne reste-

rait pas constant. Donc x n'entre pas explicitement dans F, et l'on a U = F (m). Par suite, en vertu de (91), on a

:i = ^ = F-{u) d'oix \ = vF'{u) ou W = v<f