Corollaires

i" Si Von sait trouver cTunemanière quelconque un fat V d'intégrabiîité, on obtiendra l'intégrale générale de Véqut différentielle v (Mctc -i- Nrfy) = 0 par le procédé du n"

De plus, «I égalant à zéro l'inverse - du fadeur, on aura légrale singulière.

En effet, l'équation

V {tlldx -h ^dy) = du

mise sous la forme

Udx + Nrfy = - . du,

montre que, pour que l'équation diiTérentiellc soit satisf c'est-à-dire pour qu'on ait ildx + tidy = 0, il faut et il f qu'on ait

soit du:=(i d'où ut=c ce qui donne l'intégrale g6n6\ soit ^ = 0, ce qui donne donc l'intégrale singulière.

Ce dernier résultat peut d'ailleurs être déduit de la thé des solutions singulières (n" 369). En effet, u — C=:rOé ici l'intégrale générale, toutes les solutions singulières se données par t' équation

rfy à laquelle se réduit alors l'équation (8), Mais ^ n'est a que le facteur v qui rend l'équation dy — /(x, y) diiïérenti exacte (a" 400). Donc l'équation - = 0 contient toutes les s tions singulières.

2^ Si Von a trouvé par un moyen quelconque deux f(uAeur$ V ei\ diniégrabilitéj on aura immédiafemeni Fintégrale ginérale en égalant leur rapport à une constante.

Car, on a va que, si ti = c est l'intégrale générale, on a

- = ç (w) ; et de o (w) = c, on tire m = G.

402. La détermination du facteur v dépend de Pintégration dune équation aux dérivées partielles.

En effet, on doit avoir

dy dx

d*où, en développant

hx ^y \ày iixj ^ '

ce qui est bien une équation entre une fonction v inconnue

des dei4X variables x et y, et les dérivées partielles ^> ^» ^^

cette fonction.

On verra (dans Télude des équations aux dérivées partielles) que son intégration générale dépend précisément de F intégration de réquation proposée. Il y aurait donc là un cercle vicieux. Mais il faut observer qu'il n'est pas besoin de trouver la solution générale de cette équation ; toute solution particulière de réquation (98) est un facteur d'intégrabUité de la proposée. Malgré celte remarque, la théorie du facteur r na guère qu'une importance théorique.

Nous allons maintenant chercher la condition que doit remplir une équation du premier ordre pour admettre un facteur d'intégrabUité de forme spéciale.

403. Cherchons la condition pour que Véquation du premier ordre

dy — f{œ, y) dx = 0

admette un facteur d'intégrabUité qui ne dépende que de x seul.

ÉQUATIONS DlFPiRBNTIBLLES DU PREMIER ORDRE 523

Ici on a N == I , M = — f{x, y), — = 0 ; réquation (98) se réduit donc à

?£ . ^ ^f{^^ y) ^ 0 d'où l ^ = ^ ^li^ijù

et comme le premier membre est fonction à'x seul, il faut qu'il en soit de même du second, c'est-à-dire qu'on ait, en désignant par P une fonction d*j?,

î/(|y) ^ p j.^ù ^ nx, y)= j Vdy= Py-. Q

Q étant aussi une fonction d'x seul. L'équation proposée devient donc

du

Py

Quant au

facteur^

on a

1 dv V dx"

d'où

logw

et enfin

Ainsi t pour qu'une équation du premier ordre admette un facteur dHntégrabilité fonction d^x seul, il faut que cette équation soit linéaire; et cela suffit y car il est aisé de constater que

ef^^ [cly -^ {?y — Q) dœ\ est une différentielle exacte ; on peut, en effet, l'écrire

ef^^"^ dy -^ y? e-l^^ dx - ef^^ Qdx

ou d[yJ^^] - /^^^ Qdx et enGn

d\ yj^^-- jef^^-Qdx\

o24 CHAPITRE XI

De là résulte un nouveau moyen d'intégrer l'équation

linéaire du premier ordre; en effet, réquation étant mise sous la forme

d\ yef^'^ - / e/P<^ Qd.

on a immédiatement

,J^^- / e/P<'^Qdx = C,

d'où résulte la formule connue (n" 377)

^^f^d. C + JQj^^^ dx

404. Cherchons quel est le facteur dHntégrabilité pour les équations Mdx h- Nrfy = 0 homogènes.

Si l'on pose^= /, l'équation proposée devient

et, Ton voit que, pour séparer les variables, il faut diviser par

X l^ (0 H- t^i (0] ou an}; (i) -h y+i (0» o" Ma? + Ny.

Le facteur est donc

Ma? 4-Ny

On peut d'ailleurs vérifier que si MetN sont des fondions homogènes de même degré m, l'expression

Mdx H- Ndy Ma? 4- Ny*'

ÉQUATIONS DIPFÉRBNT1B1.L&S DU PREMIER ORDRl

est une différentielle exacte.

£d eiïet, la coodition

\Hi + Ny/ \^x + Ny)

- Ny, »y ta;

développt^e, se réduit à

NiB- \~y '~]=Bi.{x hv — Il

\ ix " il// \ bx ' fty/'

ce qai a lieu, puisque, en vertu du théorème des foncUo gèues, la première parenthèse est égale à mM, et la i àmN.

405. Voici encore un exemple très intéressant { cherche du facteur intégrant.

Soit l'équation

{aydx + bxdy) ■+- x'^y" {a'ydx ■+■ b'xdy) ^ 0

Le facteur -- rend inlégrable la première partie qu la différentielle de log (x^i^). Les facteurs intt^granls ( mière parenthèse sont donc compris dans la tormule

xy -^ ^ '

De même, le facteur ^-j., „^i rend intégrable x'^y" {a'ydx -h t/xdy) qui devient la diflérentielle de lof les facteurs intégrants de cette seconde partie 8( compris dans la formule

S'il existe un facteur intégrant commun aux deux ce sera un facteur intégrant de leur somme, c'est-& premier membre de l'ôquation proposée (100). Or, respectivement

s 26 CHAPITRE XI

au lieu de ? et de 4; ; les deux facteurs intégrants

seront identiques à condition de choisir X et (x tels qu'on ait les relations

aX == o'ji — m, 6X = ô'(â — n.

Nous aurons donc de la sorte un facteur intégrant du premier membre de Téquation (100).

Les deux dernières relations, en X et (x, sont incompatibles si le déterminant ah' » ba' est nul ; mais alors l'équation proposée devient une équation à variables séparées et, par suite, s'intègre immédiatement.

406. La considération du facteur intégrant intervient utilement dans la théorie des cartes géographiques.

Nous avons dit (tome !•% n^ 540) qu'il était toujours possible de représenter une surface donnée sur un plan en conservant les angles.

Pour démontrer cette proposition fondamentale, il s'agit de faire voir quUl est toujours possible de résoudre réqoation (tome I, n° 537)

Edu^ -h 2 ¥dudv h- Gd^ = X« (rfX* -i- rfY*)

dans laquelle E, F, G sont des fonctions coiinues de u et der, tandis que X, X, Y sont des fonctions inconnues des mêmes variables.

L'équation précédente peut s'écrire

Y.du 4- Fdv -¥ idv /EG — F' Edu -h Fdv — idv y/EG — P

= [dX 4- idYi [rfX — tdYj

■wp

IKQUATIONB DIFFé[l£NTISLLBB DU PREMIER ORDRE

Désignons par m + ni un facteur iatégrant de la prei parenthèse, m et n t^taot réels. Nous aurons

(m -H Ml) ( ~

= dX + i<IY

et enfin, en multipliant les deux relations précédentes me k membre

dX* -+■ rfV = (m' -1- n") (Erfu» + 2 Fdudv + Grfr").

Les fonctions X et Y sont donc trouvées aîusî que la fon

La possibilité de la réduction considérée est ainsi établi

40V. Nous terminerons ce chapitre par quelques ap] lions géométriques; nous supposerons d'ailleurs que les de coordonnées sont rectangulaires et que dans les n*^ <L 418, les courbes considérées sont planes.

Problèmes relatirs aux tanii^entcs et aux norm

40$. Trouver une courbe telle, que la distance de l'or à ses tangentes ait une valeur corutanle a.

L'équation diiTérentielle de la courbe cherchée est évi< ment

y — ^Tf-.

En la résolvant par rapport & y, on a

c'est une équatioa de Clairaut {a^ 394). L'intégrale généiale est

C étant \ine constante arbitraire ; elle représente une inGnité de droites, et la solution singulière

jp* -t- y* = a

représente une circonférence à laquelle toutes ces droites sont tangentes.

400. Trouver une courbe telle que le produit des dislances de deux points fixes F et F' à la tangente ait une valeur donnée ô».

Prenons pour axe des x la droite FF' et pour axe des y la perpendiculaire & FF' menée par son milieu 0 ; désignons

en outre OF par c, et ^ par ;?, nous aurons pour équation différentielle do la courbe

y — pv+pc y -, pxj^ pc ^ ^^

y/l H- p* ' v^i 4-y d'où Ton tire, en posant 6* ^ ^i ^ï^

y = px -{- v^a* p* 4- 6*

c'est encore une équation de Clairaut* L'intégrale générale est donc

y = mx -h /a" m* -h 6*

m étant une constante arbitraire ; elle représente une inGnité de droites, et la solution singulière représente une ellipse

a* ^ 6* à laquelle toutes ces droites sont tangentes.

410. On est aussi amené à une équation de la question suivante : trouver tme courbe telle qi de tangente comprise diins l'angle XOY ail t donnée a. En désignant toujours par ;* le coel

Uire ^^, on a, pour l'équation difTérentielle de 1. d'où l'oii déduit

représente une infinité de droites, et la solulii représente une courbe

à laquelle toutes ces droites sont tangentes, Cetti les Traités de Géométrie Analytique) est une ép crile par un point d'une circonférence roulant Ai de rayon quadruple.

411. Trouver une courbe telle que l'ordonnée i la tangente soit égale à Kx^y".

On a immédiatement

. Kai^y"

dx an ^

C'est une équation de BernouilU (n° 37dJ.

CucgL imuiifanuL

En posant y^— « = ^, on ramène cette équation à la forme linéaire

^ — î— ^^ ;j -4- K (1 — n) 57'»"» = 0, dx os ^ ^

d'où, en intégrant (n° 377),

Il y a deux cas à distinguer suivant que m -h n — 1 est nul où différent de zéro.

Lorsque m -^ n — 1 est nul, l'intégrale qui figure dans le crochet est log x^ et l'intégrale générale de réquation proposée est

y» -« = a?» -n [c ... K (1 — n) log a-]-

G désignant une constante arbitraire.

Si m -h n — 1 est différent do zéro, l'intégrale entre crochets a pour valeur

7/i -h n — i et, par suite, l'intégrale générale de l'équation proposée «st

Signalons deux cas particuliers intéressants : Pour m = Oet n = 2, on a des hyperboles ; et, pour m = 0 et n = — 1 on a des ellipses ou des hyperboles.

412. Trouver une courbe pour laquelle la longueur de la normale est une fonction donnée de la distance de l'origine au point où la normale rencontre l'axe ox.

mfim^

ÉQUATIONS DIFFéRENTlELLES DU PREMIER ORDRE

L'équation diiTérenticUe est

y\/>*(t)'=r(^*yi)

Elle s'intègre par différeoliation (a" 393).

En effet, ea difTérentiant oa a, après quelques rédi

d l dii

■ 3s(«-^!'as

De là deux solutions

d f , d,/ diV*"T^

sj^-m~'^

La première donne

a désignant une constante arbitraire, et on obtient l'ii générale de l'équation proposée (101), en éliminant' (toi) et (104); on trouve de la sorte

qui représente une suite de cercles ayant leurs centres ox.

La solution singulière résultera de l'élimination de l'équation précédente et sa dérivée par rapport & exemple, pour f{x) = \/2mx, on aura y* =■ 2mx -+ représente une parabole.

^-ft'^

Problème des trajectoires

413. En géométrie pure, on nomme trajectoire la courbe (L) qui coupe sous un angle constant V toutes les lignes (C), (C), (C), .... que représente l'équation

lorsqu*on fait varier le paramètre a d'une manière continue.

La recherche de la courbe (L) a beaucoup occupé les géomètres et notamment les BernouUi, dès l'origine du Calcul lotégral.

Soit M (x,y) le point où la trajectoire (L) coupe Tune quelconque (C) des lignes (C), {G), (C*), Désignons ig VparK

et appelons respectivement X et -{ les coefficients angulaires aa point M des tangentes à (L) et à (C). Nous aurons

Mais X est la valeur de g^ pour la courbe (L) tandis que y est la

valeur de cette dérivée pour la courbe (C) c'est-à-dire est égal &

La relation (106) devient donc

/ôF ôF\

ou

et l'on ailra Téquation différentielle de la trajectoire en éliminant le paramètre a entre (i05) et (i07) ou (108).

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 533

4:14. La solution se simplifie lorsque Taagle Y est droit; la Irajecloire est alors dite orthogonale ^ et son équation différentielle s'obtient en éliminant le paramètre a entre la relation (103) et Féqualion

41 1 s. Comme application, cherchons la trajectoire des lignes représentées par Véqiiation

En suivant la marche indiquée au n"" 113, on obtient pour l'équation difTérenlielle de la trajectoire une équation homogène qu'on traitera par le procédé du n^ 375.

Ce calcul et le résultat auquel il amène n'offrent aucun intérêt, sauf dans le cas où n =:/7 = 1. Il s*agit alors de trouver la trajectoire du système des droites^ = eu: passant par Torigine.

L'équation (108) est ici

et» en éliminant a entre les deux dernières équations, on a

K {œdx H- ydy) = (xdy — ydx).

Cette équation différentielle, s'intègre immédiatement; car on reconnaît, après avoir divisé les deux membres par ar* -h y* , que les parenthèses sont respectivement les différentielles de

log \oc^ 4- 2/* et de arc tang " •

L'intégrale est donc

K log v/a?* -h 2/' = arc lang ^ -h C,

C étant une constante arbitraire.

En passant aux coordonnées polaires, on a

K log r = (0 -h C

<o -|- C Cl)

C étant une nouvelle constante. Les trajectoires sont donc des spirales logarithmiques ayant l'origine pour point asymptolique.