Si on voulait les trajectoires orthogonales des lignes
les équations (109) seraient
y» = ax^f apx^" * dy 4- ni/"" * dy = 0, d*où résulterait^ par Télimination de a, Téquation différentielle
nxdx H- pydy = 0 dont rintégrale générale
^w?* H- py* == C
représente des ellipses ou des hyperboles semblables et concentriques suivant que n et p sont de même signe ou de signes contraires.
417. Comme second exemple, cherchons les trajectoires orthogonales des tangentes à une courbe^ c'est-à-dire (n* 3 W, tome 1) les développantes de cette courbé
Soit
y = ^nx-^ f{m) (110)
l'équation générale des tangentes à la courbe considérée; w est le coefficient angulaire et /(m) est une fonction qui dépend de la nature de la courbe.
Pour obtenir Téquation différentielle des trajectoires orthogonales de la série de droites que représente l'équation (110)
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE :i33
lorsqu'on fait varier le paramètre m, il faut éliminer ce paramètre entre la relation (110) etTéquation (109) qui est ici
Mais il est plus commode^ pour ce qui suit, de prendre pour paramètre variable l'inverse K de m changé de signe, c'est-àdire de poser
m L*équation générale des tangentes (110) prend alors la forme
x = — Kt/4-o(K). (111)
et l'équation (109) devient
K s'élimine immédiatement entre les deux dernières équations, et l'on a pour l'équation différentielle des trajectoires
C'est une équation de Lagrange. On sait (n" 392) comment on rîntègre en la ramenant à la forme linéaire. Nous ne développerons pas ce calcul qui n'est ni difficile ni élégant, et nous nous bornerons à donner le résultat de cette intégration. En posant
p ^^' J ^i^pt
On obtient les coordonnées
a = — =£== 9 (p) -t- C Vl-i-p*
y = ^ (p) - -pi= [e (p) + C]
d'un point quelconque de la trajectoire exprimées en fonction d'un paramètre p.
^rrj^
536 CHAFITRB XI
418. Considérons en particulier le cas de la développante de cercle L'équation de la tangente au cercle
0?» -h y» = R« en fonction du coefflcient angulaire est
y = mx -h R V 1 -H m'
et il faudra éliminer le paramètre m entre cette équation et la relation (109) qui se réduit ici à
L'(5quation différentielle de la développante est donc
{xdx 4- ydyY -h R* (da?« + dy^) = 0
ou, en passant aux coordonnées polaires p et c»,
p«. rfp« -+- R* [dp« -f- p*dco«J = 0 ; on tire de là
et, en intégrant,
w -h C = — K V P* ^ H* -^ arc sin -
Lignes de courbure
410* Les projections, sur le plan des2:y,des lignes de coor* bure d'une surface ont pour équation différentielle (tome 1, n* 488)
[(i -H 9^) s^pçi] (ly 4- [(i 4-,^).-(i H-p^)/] 1^ ^^^3^
[pqr — (1 H-p')«] = 0
OUATIONS SIFPÉRBKTIBLLB3 DU PREMIER ORDRB S37
OÙ p, q, r. S, l désignent respectivement, suivant l'usage, les dérivées partielles
bz bz ft's i'z i^X ûi' dy' bx^' ùxby' hy"
qui sont des fonctions données de x et de ;/.
Oq ne sait intégrer cette équation que duos des cas particuliers. Xous ne considérerons ici que les lignes de courbure du paraboloïde elliptique et de l'ellipsoïde; nous avons d'ailleurs obtenu par une autre voie(lome 1, n" 495) celles de l'ellipsoïde.
