Soit

l'équalion du paraboloïde ellîptique. On a

et l'équation (113) devient

*^ (S' "^ **■""*»■ "^"'35-=^ = ° ''"' en posant

j = A et a(a — 6) = B. (116)

En faisaot

pois résolvant par rapport & Y, on donne à l'équation la forme

C'est une équation de Clairaut. On obtient l'intégrale générale (n" 39i) en remplaçant jv par une constante arbitraire C, ce qui donne

-me ("»)

OU, en revenant aux aucieones variables,

et enfin, en remplaçant A et B par leurs valeurs (116 ,

Les projections des lignes de courbure sont donc des ellipses ou des hyperboles suivant que la constante arbitraire G est négative ou positive.

421 • Soit maintenant

g + g+jî—i ■ a>b>c (121)

réquation de Tellipsoïde. On a

et réquation (113) devient la même équation (115) que pour le paraboloïde ; la seule différence est relative aux valeurs de A et de B qui sont ici

En portant ces valeurs dans (119) on aura l'équation des projections des lignes de courbure de Tellipsoïde sur le plan desxy.

On voit aisément que ces projections sont : i° pour Tan des systèmes^ des ellipses

w et V désignant les coordonnées d'un point de l'hyperbole

2® pour Tautre système, des hyperboles uetv désignant les coordonnées d*un point de Tellipse

Ajoutons encore qu'en projection sur le plan du grand axe et du petit axe les lignes de courbure des deux systèmes sont des ellipses.

Lignes asyniptotiques

422* Les projections sur le plan des xy des lignes asymplotiques d'une surface z = /(x, y) ont pour équation différentielle (tome T, n® 309)

rdx^ 4- 2s dx dy ^tdy^ = 0. (123)

Cette équation ne peut être intégrée que dans des cas particuliers dont uous allons, donner des exemples.