Considérons d*abord les Cono'ides. Leur équation est
z = yf{œ); (124)
on en tire,
r = yr{^l ^ = r{^)> t = 0; l'équation différentielle (123) devient alors
5iO CHAPITRE XI
c'est le produit de deux facteurs qui s'iolègrent immédiatement. Le premier donne
X = conslaote,
qui rt^pond aux génératrices rectilignes. Le second donne
log f (x) -f- log y* = log C] d'où
yT{^) = C («25)
qui représente les projections sur le plan des xy des lignes asymptotiques du deuxième système.
Dans le cas particulier du paraboloïde hyperbolique, on a /■(x = X et Téqualion (125) devient t/ = c; c'est le second système de génératrices rectilignes.
Un autre cas particulier intéressant est celui de Vhèlicùlie à plan rferec/ewr c'est-à-dire de Isl surface de la visa filet catri. L'équation de cette surface est
^=ylangj;
on a donc ici
f{x) = tang I '
d'où
a cos* -
X ay'
etréquation (125) devient
Les lignes asymptotiques du second système se projettent donc sur le plan des x y suivant des cercles ayant tous pour centre l'origine.
!• Comme second exemple, uous allons chercher les lignes asj^mptolîques de la surface du quatrième degré {*)
^;mIUï=i+"S^s («26)
qui est une variété de V Arrière voussure de Marseille.
Lorsque on attribue aux quantités a^ et b^ les valeurs particulières
cos'l' sin*6'
la surface devient le lieu des points dont la somme des distances à deux droites se coupant sous Tangle 26 est constante.
Les lignes asymptotiques de la surface (126) s'obtiennent aisément au moyen des fonctions elliptiques.
En calculant r, s^ t et portant ces valeurs dans (123), on obtient, pour l'équation diiïérentielle des lignes asymptotiques
(y» ^ h^) dx^ 2xifdxdy (a?« — g») dy^ __ ^
ce qui peut s'écrire
adx hdy
^'-^'"^y'r^' -t . Ay -^ «^ /-07^
adx bdji^ V %"~«* ' ^ ^
Posons actuellement
iLi?. -^ __ — ÎL = ^pu. du x' — a* y* — 0* ^
adx bdx /--■ ,
les racines e^, e^, e^, qui définissent /u étant telles que
ei = — e,, e^ = 0.
V*) EoGÈMB RoucHÉ, Comptes rendus de V Académie des Sciences, 5 mars
'Ht CHAPITRE XI
Nous aurons, en intégrant,
et, par suite,
ûfnf -^ ah . xy — ah
t/(a7* — a') (y^ — 6») v\x^ — a^) (jy* — 6^)
L*équa(ion (127) devient ainsi
du±dv = 0
et les lignes asympto tiques sont
u -h v = const et u — v = const
Revenons maintenant aux relations (12G).En les multipliant et les divisant tour à tour membre à membre, puis en résolvant par rapport à jret^Ies équations ainsi obtenues^ on trouvera facilement les coordonnées j? et y d'un point quelconque de la surface en fonction de u et de v ; Téquation (126) donnera ensuite z.
4S5. On peut remarquer que les lignes asymptotiques sont algébriques(*). En effet, Téquation m 4- t? = constante peut
s'écrire
p(u + v) = \(^^y-pu-pv = consU (129)
Les équations différentielles qui définissent u etv en fonction de X et de y, jointes aux équations (128), donneront pour/?tt, pv, p'u, p'v^ des fonctions algébriques de a: et de y ; Téquation précédente (129) est donc algébrique en x et y.
(*) Cette remarque est due à M. Lucien Lévy.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTI!
