D'ORDRE QUELCONQUE A DEU

CAS D'ABAISSEMEN

Inlcgrale grénérali

456. Nous avons étudié dans le chapil gralioQ des équations diirérentielles du pi variables

Nous allons maintenant nous occuper Equations difTérentielles à deux variables c supérieur an premier

pfï.ï.

di/ dh/ d";/ \ dx' 'Le*'"' dx"/

Admettons que la fonction Fsoit conlinu< reste comprise entre certaines limites •"a' Um y'it' ••• y/" " '' Jf's quantités arbitra une fonction

et une seule, jouissant de la double prop tèquatiou (1) et de prendre ainsi que ses

C'est à Cauchy qu*est due la première démonstration rigoureuse de ce théorème fondamental. Mais, comme nous TavoDs déjà dit (n^ 365) à propos des équations différentielles du premier ordre, cette démonstration malgré les simplifications qu'elle a reçues depuis, est encore trop compliquée pour être rapportée ici ; nous renverrons sur ce sujet au Cours d'Analyse de M. Jordan ou au Traité d'Analyse de M. Picard.

On donne à Téquation (2) le nom à' intégrale générale de l'équation différentielle (1).

427. Supposons que, par un procédé quelconque, on ait obtenu une équation

V(ar.î/, C,.C,..., (;.) = 0 (3)

renfermant n constantes arbitraires Ci, C,, ... On et d'où Too peut tirer une valeur de y satisfaisant à l'équation différentielle (1) d'ordre n. L'intégrale générale de (1) étant unique, réquation (3) coïncidera avec cette intégrale générale pourvu qu'on puisse attribuer aux constantes des valeurs telles que y et ses n — 1 dérivées prennent des valeurs arbitraires quand on donne à x une valeur choisie à volonté.

Cette dernière condition sera remplie, si du système formé par réquation (3) et ses n — 1 dérivées, on peut tirer pour Ci, Cj, ... Cn des valeurs bien déterminées en fonction de

car alors, on pourra faire correspondre, à une valeur quelconque de Xf des valeurs arbitrairement choisies pour y et ses n — 1 dérivées.

428. Considérons deux exemples simples : l^ Admettons qu'on ait trouvé

y = Ce" -t- C'e«'' (4)

pour une solution d'une équation différentielle du second ordre E ; C et C sont des constantes arbitraires, et les nombres <i et a' sont supposés différents Tun de Tautre.

ÉQUATIONS DIKFiRGNTIBLLES A DBUX VABI

Ëa difTérentiant (4) on aura

^ = Cae" ■+ C'ttV ;

et, si l'on résout (3) et (o) par rapport & C et à ( le (léDominaleur commun

est différent de zéro. Par suite, quelque valei assigne à x, les équations (4) et (5) donnent p( valeurs (înies. L équation (4) est donc l'intégral réquation différentielle E.

Si l'on avait a' = a, il n'en serait plus de bien, dans ce cas particulier, l'équation (4) devi

Il n'y a donc qu'une seule constante arbitraire I 20 Supposons qu'on ait trouvé

y = GsiD(^ -t- a) + C'sin{3; + a') •+■ C'sim

pour une solution d'une équation dilférentielle En dilTércntiant deux Fois, on aura

ji^ = Ccoa{a! -\- a] — C'cos{jî -J- a') — C'cos g, = Csin(;c + a) - C'sia(.r + a') - C'sin or les équations (ti) et (8) donnent

en sorte que, dôs qu'on a fixé i/, ^K ne peut une valeur arbitraire. Donc, l'équation (6) n l'intégrale générale de F.

3i6 CHAPITRE XII

On voit d'ailleurs que la relation (f>) développée se rédoil à la forme

y = Asîd;!; + Bcoso;; elle ne renferme que deux constantes arbitraires.

IntégTAlcs «les divers onircs

499. Puisque l'éqnation différenlieUe (1) ne renfennepios les constantes C,, C„ ... C. de l'intégrale générale (3), c'esl qu'on n'a pu déduire (1) de (3) qu'en différentiant nfois^ = 0 et éliminant les n constantes entre la relation <;. ^ 0 et ses n dérivites.

Si l'on veut faire disparaître de (3) seulement t coDstaule^ C,, (îj, ... Cl il faudra exécuter n — t diiït^rentiations. Aiiui, pour fixer les idées, prenons i ^ 2. On différcntiera deax fois l'équation «V =^ 0 ; puis on éliminera C, et C, entre les équations

Maison pourraaussiéliminerd'abordC. entre ■; =0 et g^.^"puis éliminer C, entre l't^quation ainsi obtenue et ?a dérivée. De quelque manière que l'on procède, on parviendra lo»' jours à la même équation différentielle du second ordre. En effet, si par deux marches diiîérentes on arrivait à deux équations distinctes du second ordre, l'élimination de jp^"'"*"* deux équations conduirait à une équation du premier orJfi; de la forme

. du

Cj, C.,...C„)=:0

Alors en joignant à celte équation celle qu'on en déduit pîf n — 2 difTérentialions, on aurait un système de h — 1 équation an — 2 inconnues C^, C,, ... Cn. On ne pourrait dont

^CATIONS DIFFÉREKTIBLLES A tlBU\ VAHIABLES 947

■as attribuer & ï, ^ > ■■■s^J^s valeurs arbitraires pour

'130. Etant dunaée une «équation diiïérentielle (1) d'ordre n, )Q nomnie intégrale première ou du premier ordre de cette ■quatioD la relation que l'on obtient en faisant disparaître de 'intégrale n — 1 des constantes C,, C^, ... C„. D'après cela, on foil qu'il y a n intégrales premières et que chacune d'elles est une équation dilTérentietle d'ordre n — 1 renlermant uns constante arbitraire.

De roi^nio, on nomnie intégrale du second ordre de l'équation (I) la relation que l'on obtient en faisant disparaître de l'intégrale générale n — 2 des constante» C^, C^, ... C„. Il y a

évidcrainent --— .j- ■■■ relations de ce genre, c'est-à-dire autant

qu'il existe de combinaisons de n objets 2 à 2. Chacune de ces intégrales du second ordre est une équation diflérentielle d'ordre n — 2 renfermant deux conslantes arbitraires.

D'une manière générale, on nomme intr'grales d'ordre i de l'équation (1) la relation que l'on obtient en chassant de l'intilgrale générale n — i des constantes C,, G,, ... C„. Il y a

évidemment " ^" ~ ,— ^ ~ * intégrales d'ordre i c'està-dire autant que de combinaisons de n objets i à i. Chacune de ces intégrales d'ordre i est une équation diflérentielle d'ordre n — i renfermant ( constantes arbitraires.

Kniln, il n'y a qu'une intégrale d'ordre n de l'équation (I), Cesl l'intégrale générale (3).

■131. Les cas d'intégration des équations différentielles d'un ordre supérieur au premier sont fort rares. Sauf la théorie des èr/iialions linéaires, que nous exposerons dans le chapitre suivant, il n'existe aucune méthode générale, mais seulement des procédés particuliers et quelques transformations propres à abaisser l'ordre des équations différentielles considérées.

Nous allons d'abord faire connaître ces cûj de réduclibililé qui, malgré leur petit nombre, permettent de résoudre beau-

548 CHAPITRB XU

coup de problèmes intéressants ; c'est par ces applications ^^, nous terminerons ce chapitre.

Intég^ration de Féquation -r^^z y)

dx^