VI -+- i {ni + \y
Considérons encore l'intégrale
x-dx [x sin X H- cos xy^
DES INTEGRALES INDEFINIES 19
que nous écrirons, en multipliant et divisant par la dérivée de la parenthèse, x cos x.
cos X (ce sin oa -+- cos xy '
On peut alors appliquer la formule (13) en posant
cos x^ X sin X -h cos x^
ce qui donne
X X cos X dx X 1 / dx
cos X [o: sin x -h cos .r)- cos x x ■s.xw x -\- cos x 1 cos-o;
cos XX sin X -\- cos j; sin X — X cos a?
tanor x
X sin a? + cos x On verrait de même que
x^dx 0? sin j:; H- cos x
(sin 0? — X cos iJ7)^ siri a- — x cos a:;*
35. La méthode précédente peut être appliquée plusieurs fois de suite.
Soit par exemple P{x) ou simplement P un polynôme de degré 7i; soient P', P", ses dérivées successives par rapport à X. Comme e^'dx est une différentielle exacte, on aura successivement
Ve-'-^dx = — Pe--^ -h / P'e--'dx,
P'e-^dx= — P'e-^-i- / P"e-'dx
')e-^'c?a; = — P("-i)e-^ + / PHe-^c?a?
PWe- '^div = — PWe-^
d'où, en ajoutant toutes ces égalités membre à membre et posant
Pe-^c?^ — F(a;)e-^. (14)
26. L'exemple précédent a pu être poussé jusqu'au bout parce qu'un des deux facteurs du produit s'est trouvé être une dérivée n™® exacte. Il en sera de même dans tous les cas analogues et nous pouvons écrire la formule^ obtenue en appliquant p fois la formule (13),
uvi")dx = uv(" - ') — u'vi'^ - ^) + i(,"vi''-^)
(15) (^ — iyu(î')v("-i' - ^)+ ( — 1)^' + ^ / îi^i' + ^)y(" -i'- ^)dx.
Si, pour une valeur de p^ la dernière intégration peut être effectuée, il en résultera la valeur du premier membre de l'égalité (15) sous forme fmie.
27. Il est clair qu'une différentielle étant donnée, il se présente une infinité de manières de la décomposer en un produit de deux facteurs. L'habileté du calculateur consiste précisément dans le choix du mode de décomposition qui fera réussir k méthode d'intégration par parties. On en a vu, au n° 24, un exemple intéressant.
DES INTEGRALES INDEFINIES 24
En voici un autre qui nous conduira à une formule très usuelle. Soit à intégrer
Nous écrirons
I^,j =r= / sin"'- 'o;. sin ocdx ;
ce qui donne, en intégrant par parties,
I„, = — sin'"-^^ cos oc -{- (m — 1) / sin'"-^^ cos-xdx (16)
Remarquons maintenant que cos^j^ =1 — sinV ; la dernière intégrale s'écrira
sin'»- 2^(1 — sin^w)dœ = j sin'''-^xdx — j shV'ixda)
La formule (16) deviendra donc
7n],n = — sin'" " la? cos a? + (m — 1) Im- 2 (l"^)
C'est une formule de réduction et, si m est un nombre entier, on est sur, en l'appliquant plusieurs fois, de ramener le problème à l'intégration de ï^ ou de Jo, qu'on sait effectuer puisque
Tj = 1 sin xdcG = — cos x,
J n f Cv tX/ Ju ■
On obtiendrait évidemment de même
28. Nous avons, dans le" cours du calcul précédent, décomposé une intégrale en deux par la simple formule
(u -h v)dx = 1 udx H- I vdx^
déjà signalée au n° 7. Le procédé est trop évident pour être érigé en méthode; il importait cependant de le signaler.
D'ailleurs il est d'un usage constant, et, combiné avec d'autres méthodes, il permet souvent d'obtenir des intégrales d'aspect compliqué. Nous en donnerons un dernier exemple. Soit à intégrer
dx
{x- H- a-)'" Nous écrirons
J. / Cl" + a^-- — a-^ ; i T i / "^'"^^ (\%\
Nous appliquerons la méthode d'intégration par parties à la dernière intégrale, mise d'abord sous la forme
xdx
ce qui donne
et finalement, en revenant à l'équation (18),
y 1 2 m — 3 1 . ,,Qs
C'est une nouvelle formule de récurrence dont l'appliccition répétée conduira évidemment au résultat lorsque m sera entier.
Dans le cas particulier où m = 2 et « =^ 1 on a
la formule (19) est illusoire lorsque m est égal à l'unité.
Intégration par snbstîtntîon
29. Une autre méthode consiste à changer de variable. En d'autres termes, dans l'intégrale / f{.r)dx, on pose
00 = cp(/)
d'où
dx = o'{t)dt, et Ton considère la nouvelle intégrale
^{t)o'{t)dl,
'\[t) désignant ce qu'est devenue f[x) lorsqu'on y a remplacé ./•par ^[t). Cette dernière intégrale peut être facile à calculer •dans des cas où la première ne l'est pas.
