Soit par exemple /"(a:) = — ,(/?> 1). On aura
et
I dx 1
I ^ "■ 1 — p \bi'-^ al'b
dx 1 1
"^ \ —p ai'-^'
Si au contraire p est inférieur ou égal à l'unité, le symbole n'a plus de sens ; le second membre de (10) croit sans limite.
16. Il n'existe pas de règle générale pour reconnaître si / f{xyiœ est bien déterminée, pas plus qu'on ne sait en
général, reconnaître, si lintégrale 1 f {x)dx conserve un
sens défini lorsque /"(.z) devient infinie pour une valeur de x comprise entre a et b.
Voici deux théorèmes qui permettent de résoudre la question dans des cas assez étendus.
1 Tt. Si, pour X = Xo, f{x) devient infinie^ mais si le produit [x — ,2'o)*/"(^) conserve une valeur finie, a étant inférieur à
Vunité, rintègrale j f{x)dx, où l'on a a <iXo<ih^ aura un
sens bien déterminé.
Il suffit évidemment, à cause de la définition, de démontrer que chacune des intégrales suivantes
f{x)dûo et / f\oG)dœ,
a un sens bien déterminé ; la démonstration est la même pour les deux. Nous n'examinerons que la première. Soit A la limite du produit [x^ — œY f{x), on aura, pourvu que x soit suffisamment voisin de x^ {x ■< x^),
A - £ < (^„ ■- ccYr{x) < A H- £,
E étant un nombre donné aussi petit qu'on voudra. On déduit de là
et par suite
fJrï. *y ri.
Or l'intégrale qui figure dans le premier et dans le troisième membres a une valeur L bien déterninée. L'intégrale
j f[x)dx a donc une limite A X L bien déterminée.
De même, si ce produit ne tend pas vers zéro, et si a est supérieur
à l'unité, l'intégrale / fix^dx n'a pas de sens ; l'expression
croît sans limite quand t tend vers zéro. La démonstra-
DES INTEGRALES INDEFINIES 13
tion est identique à celle qui vient d'être donnée : on pourra, pour £ suffisamment petit, et en supposant, par exemple {Xo — xY f[x) positif, trouver un nombre n tel que l'on ait
ou, comme {x^ — a?)*est positif,
{ûG„ — x)
OU, en intégrant
f{x)dx >> n
ypCfj Xj L'intégrale du second membre a pour valeur
et croit sans limite lorsque e tend vers zéro.
18. Si, pour X infini, le produit x'' f{x) reste inférieur en
f {x)dx
aura une limite, pourvu que n soit supérieur à Vunité.
Supposons positives les quantités x, f{x), et par suite L, ce qui facilite l'écriture sans diminuer la généralité de la démonstration. On aura
oc'' f{x) < L,
d'où
et, en intégrant,
Lorsque x croît à l'infini, le second membre a une limite finie ; il en est donc de même du premier qui est une somme de quantités positives.
En particulier, si L est la limite du produit «" f[x), on aura
Au contraire si n est supérieur ou égal à l'unité et si le produit x" f{x) reste, pour x suffisamment grand, supérieur
f f [x)dx
n^aura pas de limite. La démonstration étant analogue aux précédentes, nous nous dispenserons de la donner.
19. Par exemple, les deux théorèmes précédents permettent d'affirmer que
/ dx
] {x — x^) {.X — x^ {ce — 0^3). .. ' ^ a
est infinie, tandis que
dx ^ , I dx
et
ont des valeurs bien déterminées, x^ étant une racine du polynôme soumis au radical et a un nombre inférieur à cette racine,
DES INTEGRALES INDEFINIES 13
mais supérieur à la racine qui est immédiatement inférieure à x^. A vrai dire une nouvelle difficulté se présente ici, les quantités soumises au radical pouvant être négatives ; mais nous supposerons, dans ce cas, qu'on a changé tous les signes, sauf à multiplier l'intégrale par sj — 1.
De même ^on peut affirmer que l e 'dx k une valeur
finie.
Rappelons que les théorèmes de la moyenne permettent d'aller plus loin. Nous avons vu par exemple (n** 9) que l'inté'Jfrale
dx
est comprise entre
2 ^'1 -li' 2'
L'intégrale
peut s'écrire
I = y e ~ ^''dxy «-'0
e ~ -'-"dx -+- / e~ ^''dx.
Pour les valeurs de x positives et inférieures à l'unité on aura
.oi - ,.1
/ e~ '■'- xdx <C / 6 ■" ^-'dx. ♦-^0 «-'0 :
La première expression peut s'intégrer complètement, car
on connaît la fonction primitive de xe ~'", qui est — ^ e "'" ;
on a donc
e-^ xdx = s 1
et
|(l -^-)< / e-Vx<l, (11)
en remarquant, pour écrire la dernière inégalité, que e"^" est toujours inférieur à un.
On aura de même, pour x compris entre 1 et oo ,
0 ■<! / e ~ -''dx <C I e ~ ^'xdx ou
0< / e'-'dx<^~. (12)
Donc finalement on aura^ en ajoutant les inégalités (il) et (12) membre à membre,
La valeur exacte de I est —f, comme on le verra dans le second chapitre.
30. Le tliéorème, énoncé au début du n° 18, impose à f[x) la condition d'avoir zéro pour limite lorsque x devient infinie. Mais cette condition n'est nullement nécessaire et f{x) peut être indéterminée. Nous en verrons des exemples dans le chapitre suivant.
DES INTEGRALES INDEFINIES i7
SI. H importe de vérifier que les propriétés établies aux n°^ 3 et suivants pour les intégrales ordinaires subsistent avec l'extension que nous avons donnée à ce mot.
Supposons d'abord que, pour x = c^ f[x) devienne infinie, mais que la fonction primitive '^{x) reste finie et continue. On a par définition
f{oc)d.v = lirn / f(x)dx -h h'ni / f {ci;)d.v
t^o ] z=oJ
= lim c{/(c — z) — vj{a) H- lim <^{b) — cp(c + £')
= cp(&) ?(«)•
Même démonstration pour les formules des n"'' 4, 5, 6 et 7.
HH. tl résulte des n°® précédents que le calcul des intégrales définies se trouve singulièrement simplifié lorsqu'on connaît l'intégrale indéfinie. C'est à la recherche de cette dernière intégrale que sera consacrée la fin du chapitre.
Intégration par jiarties
S3. Cette première méthode d'intégration est fondée sur la formule
d.uv = udo H- vdu, qu'on peut écrire
udv = d.uv — vdu, ou, en intégrant,
/ tidv = uv — Il
vdu. (13)
Calcul infinitésimal
Si Tintégrale I vdu rentre dans celles qui viennent d'être établies (ou qui s'en déduisent imnaédialement), lalormule (13) fera connaître / udv.
