Soit, par exemple

i dx

I /l — ^2 Posons

X = sin t, dx = cos tdt.

L'intégrale devient

dt = t = arc sin x.

On a donc

dx

arc sin x.

ce qui était un résultat connu.

Considérons encore l'expression

xdx

On pose

00^- = t d'où 2xdx = dt.

et l'intégrale devient

On a donc

l dt l . ,

r = jî arc tanff x-

Soit enlïn à inté2:rer

1=1 Sivc iangxdcc.

On posera

a7=-lanff^ d'où c^a? = — 5-,

° cos-î

Intégrons par parties

I = Hang^— I iâug t cU = t tang t

— sin t dt cos t

Posons dans la dernière intégrale cos t ^u, elle devient

— = Lu = L cos t = L

u \/l H- cc^ '

Le résultat cherché est donc

arc tangx dx = x arc tang j? — ^ L{1 H- a;-) ;

C'est bien la formule du n° 22.

31. La légitimité de la méthode résulte de ce que la différentielle d'une fonction reste la même quelle que soit la variable à l'aide de laquelle on l'exprime (I. n° 68). Mais il y aura lieu, lorsqu'on reviendra aux intégrales définies (qui sont fondées sur la notion de somme), de voir s'il ne faut pas apporter quelques restrictions à l'usage des changements de variables.

£g CHAPITRE I

Nous nous bornerons, pour le moment, aux indications qui précèdent et nous aborderons immédiatement l'étude des classes de fonctions dont on sait effectuer l'intégration.

Intégration des fractions rationnelles

S*Jt, On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes entiers. Dans le cas particulier où le dénominateur est une constante, on a un polynôme entier qu'on sait intégrer puisqu'on sait intégrer une somme (n° 7) ainsi que l'expression œ'"\ Gomme de plus on sait mettre toute fraction sous la forme

où Q est un polynôme entier et R un polynôme de degré inférieur au degré de B, finalement nous n'avons à considérer

que des fractions de la forme ^^ dans lesquelles nous

supposerons le dénominateur de degré m et le numérateur de degré au plus égal km — 1. On peut évidemment supposer les deux termes de la fraction premiers entre eux.