X -s- — (an- 2n)î/.^ -h hyl = c:c

qui ne diffère de (oO) que par l'échange de b et de c et par le changement de a h- 7i en o + 2n.

En continuant de la sorte, on parviendra, par i transformations successives du même genre, à l'équation

diii , . . -, 7

X y- — (a -h in yi + cyc = ox^^

si le nombre ent'er / est impair, et à l'équation

•'^ ^^"-^ ~ (« + in)yi + byc = ex'' si i est pair.

Or, d'après le n» 387, ces équations sont intégrables si l'on a n = 2{a -\- in) c'est-à-dire si

est un nombre entier positif.

2° Soit X = 0. La formule de substitution devient

a?" et l'équation (49) se réduit à

à laquelle on pourra appliquer la méthode précédente de manière à parvenir, par i substitutions successives, à une équation intégrable quand

est un nombre entier positif.

En réunissant les résultats des deux cas, on arrive à la conclusion suivante : V équation