Citons encore l'équation
[a -+- a'x + a" y) [xdy — ydx)
— (& + h"x -h h"ii) dij + (c 4- c'x + c"y) dij = 0
étudiée par Jacobi et dans laquelle a, a', a", b, h', h", c, c', c" sont des constantes données.
La substitution
a; = XH-a, y = Y-hP
où X et Y sont de nouvelles variables et a et p des constantes indétermiuées, permet défaire rentrer ceiie équation de Jacobi dans le type (40), à condition de déterminer a et p de manière à satisfaire aux relations
a + «'a + a"j3 b -hb'a-^ &"p c + c'a + c"S ï = ^ = P -• (^2)
Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer ce calcul, qui, quoique un peu long, ne présente pas de difficulté. Nous ferons seulement observer que pour la résolution du système (42j, il est commode d'introduire une troisième inconnue X, valeur commune des rapports (42). Alors, en éliminant a el j3 entre les trois équations qu'on obtient en égalant kl chacun des rapports (42), on tombe, pour déterminer X, sur l'équation du troisième degré
Calcul infinitésimal 32
OU, en développant ce déterminant,
X3 (a 4- &' + c") X2 —l {ah' — ha' h- ad' — ca" + h'd' — c'h") la (h'd' — dh") + h (da" — a'd') + c [da" — a'd')] = 0 ;
"> étant connu, on aura a et pà l'aide de deux des trois équations dont nous venons de parler.
Équation de Rîccalî
38S. On nomme équation de Riccati l'équation dont le type général est
P^^^[x)^^{x)y-^^[x)if-, (43)
dx
quoique le savant italien n'en ait traité qu'un cas particulier. Elle possède d'intéressantes propriétés qui ont été l'objet des recherches de plusieurs géomètres et notamment de M. Darboux dans ses Leçons sur la théorie générale des surfaces.
Cette équation (43) ne change pas de forme quand on fait subir à y une transformation linéaire, c'est-à-dire lorsqu'on substitue à y la variable z définie par la relation
iViiQ
OÙ P, Q, R, S sont des fonctions de œ telles que PS — RQ soit différent de zéro.
En effet, si l'on remplace dans (43) y par sa valeur
__ Q — S.- ^ ~ lU — P
tirée de la relation précédente, on tombe sur l'équation
dz cgj {x) H- ^1 (a?) ^ H- 6j {x) z"-
dx — ' PS — RQ
qui est encore une équation de Riccati.
EQUATIONS DIFFKRENTIELLES DU PREMIER ORDRE 499
383. L'équation de Riccati se ramène à une équation linéaire, dès qu'on en connaît une solution particulière y^. En effet, si l'on pose alors
d'où
dif \ du g
dx iC- dx dx '
l'équation (43) devient
■"' [dx - ? (^) - ^0 '^ (^) -!/o^ e (^)]
Le premier membre est nul puisque ij^ est une solution et la transformée de (43) se réduit à
C'est une équation différentielle linéaire et du premier ordre dont l'intégration (n° 377) dépend de deux quadratures.
384. Si Ton connaît une seconde intégrale particulière ij = y^ de l'équation (43) et si l'on dé.-igne par u^ la valeur correspondante de u, cette valeur u^ sera une solution particulière de l'équation (44). On aura donc
et, par suite, en retranchant cette relation de (44),
On en déduit en intégrant
î^^ = C e-=, ^ = / C']^ i/v) 4- 2ij, 0 (a?)] dœ ;
mais la formule de substitution (44) donne
y — Vo Ui — yo
et, par suite, l'équation de Riccati a pour intégrale générale
où C est une constante arbitraire, et où z désigne l'expression
z= l [\ {x) + 2t/o 0 {x)] dx. (47)
On voit que, dans ce cas, l'intégration n'exige qu'une seule quadrature.
385. Enfin, supposons qu'on connaisse trois solutions particulières î/o, î/j, 2/2 . On a alors, comme dans le cas précédent,
il Jo
et, en divisant membre à membre cette relation et la relation (46), on obtient, pour l'intégrale générale de l'équation de Riccate, l'expression
y^ZLlh . V 2j^yo .^ constante y — Ui Ui — 2/0
qui ne contient aucune quadrature.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE oOl
386. Abandonnons maintenant le type général (43) et considérons l'équation différentielle
du , „ .,„^
-j^ -+ bu^ = ccc», (48)
traitée par Riccati et où è et c sont des constantes données. En posant
on obtient, au lieu de (48), Téquation
dy 7 , 1 ,
ce r V -+- 0'/ = ex'' + ^
ax ^ -^
à laquelle nous substitaerons l'équation un peu plus générale
^ rff ~" ^^ "^ ^y' ^ ^^'" ^^^^
a désignant une nouvelle constante.
Nous allons étudier particulièrement ce type, qu'on déduit de (43) en y faisant
o(x) = ex- - s ^{x) = ~ , %x) = --,
38T. Supposons d'abord n = 2a.
L'équation (49) s'intègre alors, car la substitution ij = zx" permet de séparer les variables.
388. Supposons maintenant ?î différent de 2 a, et faisons la substitution
^ Vi
où ?/i est la nouvelle variable et X une constante à déterminer. L'équation (49) devient
(X^è - la) + {n-a + 2 6X) ^. + 6 ^, ^ ^ = c^",
Vi î/i u\ "'^
et l'on est conduit, pour annuler la première parenthèse, à prendre X ^ t ou X = 0. Tl y a donc deux cas à distinguer :
i° Soit X = T . L'équation précédente se réduit à
x^-{a + n)iu + cy^ = bx'\ (50)
Elle a la même forme que (49) dont elle difîère seulement par l'échange de 6 et c et par le changement de « en « + n ; celte transformation peut d'ailleurs être effectuée par la substitution
De même, la substitution
ramènera l'équation (50) à la forme
