Le premier type de ce genre est
les variables ^ et y ne figurant pas alors dans l'équation.
Soit a l'une quelconque des racines de l'équation F (s) = 0 ; on satisfera à l'équation (53) en posant
dy
dx
d'où, par intégration,
y = (xx -V- Q>, C désignant une constante arbitraire. On tire de là
et l'on a, par suite,
pour l'intégrale cherchée.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PRliMlER ORDRE 503
Exemple : soit
l'inlégrale sera
\dx) -^'' (^^)
I = câ ou II = zh a.5ç -h C
Ici, comme l'équation (34) est résoluble par rapport à £ , on
aurait pu procéder autrement. L'équation (54) se décompose en deux
dy dy
dx ' dx '
d'où^ en intégrant,
y — ax — C = 0, et y ~\~ ax — C = 0
C et G' étant des constantes arbitraires. Ces deux solutions de l'équation différentielle proposée (34) sont renfermées dans l'équation unique
{y — ax -^- C) (y -h aj; H- C) =: 0
Mais, comme les deux facteurs de ce produit doivent être égalés séparément à zéro, on peut représenter les deux constantes par une même lettre en sorte que l'intégrale sera
[y — ax -\- c) [y -^ a -h c) = 0,
391. Nous allons considérer maintenant les équations difféntielles qui ne contiennent, ou seule des deux variables x et y.
rentielles qui ne contiennent, outre la dérivée -^-=:p, qu'une
1° Soit le type
F (^, fjl) = 0. (55)
doj
Si l'on sait exprimer x et -^{ en fonction d'une variable
dx auxiliaire u^ par deux équations
formant un système équivalent à l'équation proposée (55), on aura
dy = '^ [il) dx = '^ [u) . c^cp [u) , et par suite
ou encore, si l'on veut,
y = J; (il) cf [u] —If (u) d'I {u) H- c, (58)
c désignant une constante arbitraire. L'élimination de it entre (37) ou (58) ei œ = f {ic) donnera l'intégrale générale.
Nous signalerons deux cas principaux où x et ^^ s'expriment
en fonction d'une variable auxiliaire ii. Dans le premier,
l'équation (55), dans laquelle x et -/- sont considérées comme
les coordonnées cartésiennes d'un point, représente une courbe unicursale ; nous dirons, pour abréger, que la relation (55)
est du genre zéro. On sait alors (tomel^^ n" 383) que x et ^^
s'expriment en fonctions rationnelles d'une môme variable. La
formule (57) ne conduit par suite qu'à Tintégration d'une
fonction rationnelle.
Dans le deuxième cas, l'équation (55) est du genre un. On
a vu que, dans ce cas, ■s^ et ^ s'expriment rationnellement
par des fonctions elliptiques d'un même paramètre. L'intégration (57) peut donc encore être effectuée jusqu'au bout. Dans le cas où l'e'quation (55) peut être résolue par rapport à X, c'est-à-dire est de la forme
le système (56) devient, en prenant p pour variable auxiliaire
et l'on obtiendra l'intégrale cherchée en éliminant p entre X = / (p) et
I/ = Pf(p)— / f{p)dp-hc.
2°Soit le type
Si l'on sait exprimer y et -i'^ en fonction d'une variable auxiliaire u, par deux équations
formant un système équivalent à l'équation proposée (60), on aura
, dii vj' hi)
doc = -p/- = ' ^{ du,
d'où
x = I ■', } J du -h C ;
Puis, l'élimination de ti entre cette équation et y = o (u) donnera l'intégrale générale.
Nous devons encore, comme ci-dessus, signaler les deux cas remarquables où la relation (60) serait du genre zéro ou du genre un. Dans le premier cas l'intégration s'eflectue à l'aide des seules fonctions élémentaires, dans le deuxième cas à l'aide des fonctions elliptiques.
Dans le cas où Téquation (60) peut être résolue par rapport à y, c'est-à-dire est de la forme
le système (61) devient, en prenant p pour variable auxiliaire,
L'intégrale générale résultera de l'élimination de p entre y = f{p)ei
f'M dp -h c.
Les deux types (55) et (60) étudiés dans le numéro précédent peuvent être ramenés l'un à l'autre en prenant la fonction pour variable indépendante et inversement. Il eût donc suffi de se borner à traiter l'un des deux cas.
Cette remarque ne s'applique pas seulement au numéro 391. En général, suivant que l'on prend a: ou 2/ pour variable indépendante, l'équation différentielle change de forme et se
ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE u09
prête avec plus ou moins de facilité à l'iiitégration. Par exem-, pie, l'équation
devient, lorsqu'on considère x comme la fonction et y comme la variable indépendante,
et sous cette forme on voit qu'elle s'intègre aisément puisqu'elle est linéaire (n° 377).
Procédé par clifféreiitialion.
Équations de Lagrange et de Clair aiit
392. Il existe des équations différentielles du premier ordre que Ton parvient à intégrer à l'aide d'une différentiation préalable.
Telle est Véquation de Lagrange
y = X oip) -Y- ^ (p) (63)
où
dy
^ dx'
En différentiant (63), on obtient
'pdx = o [p] dx -f- [xo' [p) H- 'V [p)'\ dp = 0,
dX 0'{ p) <ll' (p) r. ,r,,.
dp o [p) — P . ^ [P) — P
Cette équation est linéaire quand on y considère x comme la fonction et p comme la variable indépendante. On pourra
510 CHAPiTltE X.l
donc l'intégrer (n° 577)^ ce qui donnera une relation entre x et jj, et, en éliminant jo entre cette relation et l'équation (03), on aura l'intégrale de cette équation (63).
