L'équation

plus générale que celle de Lagrange, ne peut que rarement s'intégrer en suivant la marche précédente.

En effet, en dérivant par rapport à x\ on a

^ èx i>p dx''

mais celte équation différentielle du premier ordre en ^ et /> n'est plus en général linéaire et on ne saura l'intégrer que dans des cas fort rares.

Toutefois, si on sait l'intégrer par un procédé quelconque, on aura une relation

où c désigne une constante arbitraire, et il suffira d'éliminer p entre cette relation et l'équation proposée (63) pour avoir l'intégrale de cette équation (63).

394. Le procédé par différent iation peut être présenté d'une manière un peu différente :

Soit l'équation différentielle

où p désigne -^

^ dx' En dérivant l'équation (66) par rapport h x, on a

ôF ôP dii ^Y dp „ ,r.„.

iix i)y dx f'p dx ^ '

EQUATIONS DIFFKRENTlELLIiS DU PREMliîfl ORDRE 511

Supposons que cette équation dérivée (67) soit de la forme

ax

P et Q étant des fonctions de x, ?/, etja ; ou bien, qu'on puisse la mettre sous celte forme en combinant convenablement les relations (66) et (67). On aura l'intégrale générale de la proposée en éliminant p entre cette équation différentielle et la relation Q = constante ; puis l'élimination de p entre (67) et P = 0 donnera la solution singulière.

Ce procédé permet d'intégrer immédiatement Véquation de Clair aut

y := px -\- '^ {p). (68)

On a ici

Q=^ et ^ = x + ^'{p). (69)

Par suite, l'intégrale générale est

y = Cx- + <]; (C) (70)

C étant la constante arbitraire, et la solution singulière résultera de l'élimination de/» entre (68) et a? 4- <I;'(p) =: 0.

L'équation de Clairaut n'est d'ailleurs qu'un cas particulier, mais très usuel, de l'équation de Lagrange.

Equation d'Eiiler